Haciendo un poco de investigación me quedé atrapado tratando de demostrar que la siguiente función es decreciente
$$f(k):= k K(k) \sinh \left(\frac{\pi}{2} \frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\right)$$ por $k \in (0,1)$.
Aquí $K$ es la integral elíptica Completa de primera especie, que se define por $$K(k):= \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}.$$
Esto parece ser cierto que, como en el siguiente gráfico sugiere :
Yo realmente no sé mucho acerca de las integrales elípticas, así que tal vez alguien de aquí puede dar un poco de perspectiva. Cualquier referencia en las integrales elípticas de primera especie es bienvenido.
Gracias, Malik
EDITAR (2012-07-09) :
Utilizando J. M. sugerencia para reescribir la función $f(k)$ como $$f(k) = kK(k) \frac{1-p(k)}{2 \sqrt{q(k)}}$$ y el uso de la derivada fórmulas $$K'(k) = \frac{E(k)}{k(1-k^2)} - \frac{K(k)}{k},$$ $$q'(k)=\frac{\pi^2}{2} \frac{p(k)} { K(k)^2 (1-k^2)k}$$ donde $E(k)$ es la integral elíptica de segunda especie, yo era capaz de calcular $f'(k)$ y reducir el problema a mostrar que la siguiente función es negativo por $k \in (0,1)$ :
$$g(k):= 4(1-p(k))K(k)E(k) - \pi^2 (1+q(k)).$$
A continuación la gráfica de $g$ obtenidos con Maple :
EDITAR (19-07-2012)
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