¿La ecuación rotacional para masa variable en Matlab/Simulink ignora la velocidad angular relativa del flujo de masa?

Question

Estoy construyendo una simulación utilizando el software Matlab/Simulink. El bloque de software que estoy utilizando se llama 'Custom Variable Mass 6DOF (Euler Angles)'. Este El enlace proporciona la documentación del bloque de simulación que utiliza las 6 DoF.

Intento comprender intuitivamente las dos ecuaciones de este bloque, a saber, las ecuaciones de traslación y las ecuaciones de rotación del movimiento. Si se desplaza hacia abajo en la sección "Algoritmos" de la página web enlazada, podrá ver estas dos ecuaciones, la de traslación y la de rotación, que se indican a continuación.

En la ecuación de traslación, veo el término $V_{re}$ . Entiendo que es la velocidad del flujo de masa relativa al cuerpo. Pero en la ecuación rotacional, no veo un término correspondiente similar como la "velocidad angular relativa". $\omega_{re}$ '. Pensaba que el flujo de masa tiene su propia velocidad angular y momento angular cuando se añade o expulsa del cuerpo. ¿Por qué la ecuación rotacional no incluye la velocidad angular relativa del flujo de masa?

Answer 1

Creo también que las ecuaciones no son correctas o están mal escritas ?

primero escribo las ecuaciones "cohete" para traslación y análogas para rotación, luego las ecuaciones de movimiento en sistema de cuerpo fijo. el índice r permanece para el cohete, el índice f para el combustible.

\begin{align*} &\textbf{Translation }\\ \boldsymbol{p}_t&=(m_r+dm_f)\,\boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{p}_{t+dt}&=m_r(\boldsymbol{v}+d\boldsymbol{v})+dm_f\,(\boldsymbol{v}+d\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}_{\text{rel}})\\ \boldsymbol{F}&=\frac{\boldsymbol{p}_{t+dt}-\boldsymbol{p}_t}{dt}= \frac{m_r(\boldsymbol{v}+d\boldsymbol{v})+dm_f\,(\boldsymbol{v}+d\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}_{\text{rel}}) -(m_r+dm_f)\,\boldsymbol{v}}{dt}\\&=m_r\,\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}+\underbrace{ {\frac{dm_f\,d\boldsymbol{v}}{dt}}}_{=0} +\frac{dm_f}{dt}\,\boldsymbol{v}_{\text{rel}}\\ &\text{with:}\\ dm_f&=-dm_r\\\\ &\Rightarrow\\ \boldsymbol{F}&=m_r\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}-\frac{dm_r}{dt}\,\boldsymbol{v}_{\text{rel}}\\\\ &\textbf{Rotation }\\ \boldsymbol{L}_t&=(\boldsymbol{I}_r+d\boldsymbol{I}_f)\,\boldsymbol{\omega}\\ \boldsymbol{L}_{t+dt}&=\boldsymbol{I}_r(\boldsymbol{\omega}+d\boldsymbol{\omega})+d\boldsymbol{I}_f\,(\boldsymbol{\omega}+d\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega}_{\text{rel}})\\ \boldsymbol{M}&=\frac{\boldsymbol{L}_{t+dt}-\boldsymbol{L}_t}{dt}= \frac{\boldsymbol{I}_r(\boldsymbol{\omega}+d\boldsymbol{\omega})+d\boldsymbol{I}_f\,(\boldsymbol{\omega}+d\boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega}_{\text{rel}}) -(\boldsymbol{I}_r+d\boldsymbol{I}_f)\,\boldsymbol{\omega}}{dt}\\&=\boldsymbol{I}_r\,\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}+\underbrace{ {\frac{d\boldsymbol{I}_f\,d\boldsymbol{\omega}}{dt}}}_{=0} +\frac{d\boldsymbol{I}_f}{dt}\,\boldsymbol{\omega}_{\text{rel}}\\ &\text{with:}\\ d\boldsymbol{I}_f&=-d\boldsymbol{I}_r\\\\ &\Rightarrow\\ \boldsymbol{M}&=\boldsymbol{I}_r\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}- \frac{d\boldsymbol{I}_f}{dt}\,\boldsymbol{\omega}_{\text{rel}}\\\\ \end{align*} \begin{align*} &\textbf{The equations of motion in body fixed coordinate system}\\\\ &\textbf{Translation}\\ \boldsymbol{F}&=m\left(\frac{d\boldsymbol{v}}{d\tau}+\boldsymbol{\omega}\times\,\boldsymbol{v}\right)- \frac{dm}{d\tau}\,\boldsymbol{v}_{\text{rel}}\\\\ &\textbf{Rotation}\\ \boldsymbol{M}&=\boldsymbol{I}\frac{d\boldsymbol{\omega}}{d\tau} +\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{I}\,\boldsymbol{\omega})- \frac{d\boldsymbol{I}}{d\tau}\,\boldsymbol{\omega}_{\text{rel}} \end{align*} \begin{align*} \\\\\\ &\textbf{Euler angle}\\ &\textbf{rotation matrix}\\ &\boldsymbol S=S_z(\psi)\,S_x(\theta)\,S_z(\phi)\\ &\Rightarrow\\ &\boldsymbol \omega= \left[ \begin {array}{ccc} 0&\cos \left( \phi \right) &\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) \\ 0&-\sin \left( \phi \right) &\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) \\ 1&0&\cos \left( \theta \right) \end {array} \right] \,\dot{\boldsymbol{\varphi}}\\ &\dot{\boldsymbol{\varphi}}=\left[ \begin {array}{ccc} -{\frac {\cos \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) }{\sin \left( \theta \right) }}&-{\frac {\cos \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) }{\sin \left( \theta \right) }}&1\\ \cos \left( \phi \right) &-\sin \left( \phi \right) &0\\ {\frac {\sin \left( \phi \right) }{\sin \left( \theta \right) }}&{\frac {\cos \left( \phi \right) }{\sin \left( \theta \right) }}&0\end {array} \right] \boldsymbol{\omega} \end{align*}

Answer 2

Gracias a la OP para publicar una gran pregunta. La respuesta corta es que no hay $\vec{\omega}_{rel}$ y la dinámica aproximada utilizada en el software es un buen modelo básico. A diferencia de la dinámica de traslación, la dinámica de cuerpo rígido de masa variable simple no implica un término de velocidad angular relativa en el caso de la dinámica de actitud. En el caso traslacional $\vec{v}_\text{rel}:=\vec{v}_E^B$ es decir, la velocidad relativa de traslación de los gases de escape $E$ medido utilizando el sistema de referencia fijado al sistema de cuerpo rígido de masa variable $B$ (por ejemplo, un vehículo de vuelo). Sin embargo, en el caso de la actitud, una velocidad angular relativa $\omega_\text{rel}$ (no está claro qué representaría) sería una variable adicional ad hoc e innecesaria que no se plantea en el análisis dinámico.

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Antes de comenzar el análisis, ejemplificamos uno de los muchos supuestos simplificadores realizados para sintetizar este modelo. Se supone que el centro de masa del sistema de masa variable es estacionario con respecto a la parte de cuerpo rígido del mismo, aunque en un sistema del mundo real que consume combustible para generar gases de escape, esta suposición puede ser una buena aproximación pero no representa el sistema con total exactitud. La notación utilizada a continuación es una combinación de las herramientas disponibles en los libros de Zipfel et Etkin .

1. La dinámica traslacional es fácil de obtener, pero como se puede ver en algunas de las referencias del artículo citado en esta respuesta, a este sencillo modelo le faltan algunos términos de Coriolis, incluso en el caso traslacional. Profundicemos en algunos de los entresijos de la dinámica traslacional. Sea $\frac{d^I}{dt}$ et $\frac{d^B}{dt}$ denotan la derivada temporal de los vectores calculados utilizando los sistemas de referencia unidos a un sistema inercial $I$ y el cuerpo $B$ respectivamente. Sea $0 < m_B(t)$ denotan la masa del sistema en el momento $0 < t$ con $\dot{m}_B < 0$ . Sea $\vec{F}_{B}^\text{ext}(t)$ denotan las fuerzas externas que actúan sobre el sistema en el momento $t$ . Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton tenemos $$\vec{F}_B^\text{ext}(t) = \frac{1}{dt} [m_B(t+dt)\vec{v}_B^I(t+dt) - \dot{m}_B(t) dt \cdot \frac{d^I}{dt}\vec{s}_{EI} - m_B(t)\vec{v}_B^I(t)]$$ donde $\vec{v}_P^R := \frac{d^R}{dt}s_{PR}$ es la derivada temporal del vector de desplazamiento del punto $P$ calculado utilizando el sistema de referencia $R$ en el que $\vec{s}_{PR}$ denota el vector de desplazamiento del punto $P$ con respecto a cualquier punto de referencia fijo del sistema de referencia $R$ (o una partícula material del cuerpo rígido de $R$ ) y los puntos $B$ et $E$ denota el centro de masa del sistema en un instante de tiempo y la ubicación del escape de materiales del cuerpo del sistema $B$ . Además, en la ecuación anterior, la disminución incremental de la masa del cuerpo $m_B$ dado por $-\dot{m}_B \; dt$ representa la masa de escape que se ha separado del cuerpo en el instante de tiempo $t+dt$ que existe después del instante de tiempo $t$ . En Teorema de Coriolis implica que $$\frac{d^I}{dt}\vec{s}_{EI} = \frac{d^I}{dt}(\vec{s}_{BI} + \vec{s}_{EB}) = \vec{v}_B^I + \frac{d^I}{dt}\vec{s}_{EB} = \vec{v}_B^I + \vec{v}_E^B + \vec{\omega}\times\vec{s}_{EB}.$$ Juntando las dos ecuaciones obtenidas, tenemos $$\vec{F}_B^\text{ext} = \frac{1}{dt} {\large [} (m_B + \dot{m}_B dt)(\vec{v}_B^I + \frac{d^I}{dt}\vec{v}_B^I dt) - \dot{m}_B dt \cdot (\vec{v}_B^I + \vec{v}_E^B + \vec{\omega}\times\vec{s}_{EB}) - m_B\vec{v}_B^I {\large ]}$$ que se simplifica como $$\vec{F}_B^\text{ext} = m_B (\frac{d^B}{dt} \vec{v}_B^I + \vec{\omega}^{BI}\times\vec{v}_B^I) - \dot{m}_B \vec{v}_E^B - \dot{m}_B \vec{\omega}^{BI} \times \vec{s}_{EB}.$$ Denotemos la representación de un vector $\vec{a}$ en un sistema de coordenadas unido al sistema de referencia $R$ por $[a]^R$ . Denotemos $[\vec{v}_B^I]^B := \vec{v}_B := [u \; v \; w]^T$ , $[\vec{\omega}^{BI}]^B := \vec{\omega} := [p \; q\; r]^T$ , $[\vec{v}_E^B]^B := \vec{v}_\text{rel}$ et $[\vec{F}^\text{ext}_B]^B := [F_x \; F_y \; F_z]^T$ . En el sistema de coordenadas del cuerpo podemos representar las ecuaciones de movimiento traslacional como $$[\vec{F}^\text{ext}_B]^B = m_B (\dot{\vec{v}}_B + \vec{\omega}\times\vec{v}_B) - \dot{m}_B \vec{v}_\text{rel} - \dot{m}_B \vec{\omega} \times [\vec{s}_{EB}],$$ donde recordamos que $\dot{m}_B < 0$ denota el negativo del caudal másico (la convención habitual es suponer un valor positivo del caudal másico, de modo que, por ejemplo en un cohete, $\dot{m}_B < 0$ significa un caudal másico positivo). Al distinguir la fuerza debida a las presiones atmosférica y de la superficie de escape ( $0 < P_a$ et $0 < P_e$ respectivamente) sobre la masa de escape de las otras fuerzas externas (habituales), la expresión $[\vec{F}_B^\text{ext}]^B$ en la ecuación anterior se sustituye por $[\vec{F}_B^\text{ext}]^B - (P_e - P_a)\frac{\vec{v}_\text{rel}}{|\vec{v}_\text{rel}|}$ donde estas fuerzas se expresan explícitamente. En la mayor parte de la bibliografía sobre la ecuación del cohete, la fuerza debida a la presión no suele indicarse explícitamente en la expresión previa y una buena referencia para este detalle de modelización es el libro de Wiesel . Este efecto de la presión se ha despreciado en el modelo de software. Además, nótese que la aproximación en la implementación del software se obtiene despreciando el término de Coriolis como $$\dot{m}_B \vec{\omega} \times \vec{s}_{EB} \approx 0,$$ donde $\vec{s}_{EB}$ denota el desplazamiento de la ubicación del escape en el cuerpo con respecto a su centro de masa. Obsérvese que esta aproximación es válida si $\|\vec{\omega}^{BI} \times \vec{s}_{EB}\| = \|\vec{\omega} \times [\vec{s}_{EB}]^B\| << \|\vec{v}_\text{rel}\| = \|\vec{v}_E^B\|,$ que incluye el caso $\|\vec{\omega}^{BI}\| \approx 0$ (cuerpo de masa variable que no gira apreciablemente con el asociado el ecuación del cohete $[\vec{F}^\text{ext}_B]^B = m_B \vec{a}_B^I - \dot{m}_B \vec{v}_\text{rel}$ que se desprende inmediatamente de nuestro análisis).
2. La dinámica de actitud puede obtenerse de forma similar (evitando un enfoque de modelado más detallado como el adoptado anteriormente en el caso traslacional) de la siguiente manera. Denotemos el tensor de momento de inercia y la velocidad angular del sistema de masa variable $B$ representado mediante el sistema de coordenadas del cuerpo (sistema de coordenadas unido al cuerpo $B$ ) como $[\hat{I_B^B}]^B := \hat{I}$ et $[\vec{\omega}^{BI}]^B := \vec{\omega} := [p \; q \; r]^T$ respectivamente. En Teorema de Coriolis implica que $$[\frac{d^I}{dt}H^{BI}_B]^B = [\vec{M}_B]^B := [L \; M \; N]^T = [\frac{d^I}{dt}(\hat{I}\vec{\omega})]^B = [\frac{d^B}{dt}(\hat{I}\vec{\omega})]^B + \vec{\omega} \times \hat{I} \vec{\omega},$$ donde $\vec{H}_B^{BI}$ et $\vec{M}_B$ denota el momento angular del sistema de masa variable calculado utilizando el sistema de referencia $I$ con respecto al centro de masa $B$ y el momento de las fuerzas externas que actúan sobre él calculado con respecto al centro de masa $B$ punto de referencia, respectivamente. En el caso de cuerpo rígido de masa variable, la expresión anterior da como resultado $\dot{\hat{I}}\vec{\omega} + \hat{I} \dot{\vec{\omega}}$ del primer término del lado derecho. El resultado obtenido es el siguiente $$[\vec{M}_B]^B = \dot{\hat{I}}\vec{\omega} + \hat{I} \dot{\vec{\omega}} + \vec{\omega} \times \hat{I} \vec{\omega}.$$ De hecho, la ecuación de movimiento presentada para la dinámica de actitud puede modificarse incluyendo más términos que aproximen la dinámica con mayor precisión. Véase la sección 7.11 del libro de Thomson (en la sección 7.8 se analiza amortiguación de chorro de amortiguación transversal cabeceo-guiñada debida al escape) para uno de los análisis más completos de la dinámica de rotación de una carrocería de vehículo de masa variable. Sin embargo, una velocidad angular relativa $\vec{\omega}_\text{rel}$ a menos que se imponga ad hoc e innecesariamente en la formulación dinámica, no aparece en la representación matemática. Resulta tentador intentar escribir de forma análoga la dinámica de actitud observando la dinámica de traslación mediante la adición ad-hoc de dicho término. Sin embargo, esto daría lugar a un modelo inexacto.

Las ecuaciones que se utilizan en el software constituyen un modelo aproximado para una simulación simplista del movimiento de seis grados de libertad de un sistema de masa variable. De hecho, las ecuaciones pueden modificarse incluyendo términos adicionales para un modelado de mayor fidelidad. Véase este documento del JPL y sus referencias para lecturas complementarias. Un ejemplo de detalle adicional en el modelado dinámico de sistemas de masa variable (en comparación con el modelo utilizado en el software) que se incluye en la obra de referencia es el movimiento del centro de masa en relación con el componente de cuerpo rígido del sistema (causado por, digamos, el consumo de combustible que se requiere para generar el escape).