Dificultad para comprender los detalles de Rudin $\;$ '...claramente no tiene puntos límite en $R^k$ '

Question

Recientemente he empezado a leer el magnum upos de Walter Rudin "Principios del Análisis Matemático" y estoy teniendo un pequeño problema para entender la prueba de la siguiente afirmación:

2.41 Teorema: si un conjunto $E$ en $R^k$ tiene una de las tres propiedades siguientes, entonces tiene las otras dos:

(a) $E$ es cerrado y acotado;

(b) $E$ es compacto;

(c) Todo subconjunto infinito de $E$ tiene un punto límite en $ E$ .

Demuestra que (a) implica (b) y que (b) implica (c), quedando sólo por demostrar que (c) implica (a). Empezó como sigue:

Si $ E$ no está acotada, entonces $E$ contiene puntos $x_n$ con

$ |x_n| > n ( n = 1,2,3...) $

El conjunto $S$ formado por estos puntos $x_n $ en infinito y claramente no tiene puntos límite en $R^k...$

Mi pregunta es por qué este conjunto $ S $ no tiene puntos límite en $R^k $ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos nuestro conjunto $S = \{x_n \;|\; n \ge 1\}$ con $|x_n| \gt n$ .

Sea $x$ cualquier punto de $\Bbb R^k$ . Entonces $x$ no es un punto límite del conjunto $S$ .

Para demostrarlo, primero hay que encontrar un número entero $N \ge 1$ para que $x$ es un punto interior de la bola cerrada $B_N$ de radio $N$ alrededor del origen (coordenadas cero). Hay como máximo $N - 1$ puntos de $S$ que también puede estar contenida en esta bola. Podemos formar una bola abierta alrededor de $x$ contenida en $B_N$ que excluya cualquiera de estos puntos, excepto quizá $x$ mismo. Pero entonces, como la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, podemos encontrar un conjunto abierto que contenga a $x$ que excluye todos los puntos de $S$ excepto, por supuesto, para $x$ si está en $S$ .

Answer 2

Respuesta a la pregunta: porque $\;\lim\limits_{n\to\infty} x_n\;$ no existe o es $\;\pm\infty\;$ (uno de los dos). En cualquier caso, el límite es no en $\;\Bbb R^k\;$ .