En primer lugar, permítanme mencionar que el análisis funcional desempeña en la geometría no conmutativa un papel similar al que el álgebra conmutativa desempeña en la geometría algebraica, y merece la pena al menos tener una referencia a mano. Para ello, recomiendo "Banach Algebra Techniques in Operator Theory" de Ronald Douglas: desarrolla lo esencial de la teoría elemental del álgebra de C* completamente desde cero (el primer capítulo es sobre los espacios de Banach). A partir de ahí, recomiendo empezar con "Analytic K-homology" de Higson y Roe. El libro ofrece una introducción autocontenida a la teoría de álgebras C* y a la teoría K de operadores, y culmina con una exposición muy detallada de la demostración K-homológica del teorema del índice de Atiyah-Singer. Se trata de material fundacional de la geometría no conmutativa, en el sentido de que gran parte del resto de la materia se organiza en torno a estas herramientas.
Por ejemplo, Connes desarrolló la homología cíclica para poder generalizar el mapa de caracteres de Chern de la teoría K topológica (también conocida como teoría K para álgebras C* conmutativas) a la teoría K para álgebras C* no conmutativas. Del mismo modo, la noción de triple espectral se inspiró en el emparejamiento de índices entre la teoría K y la homología K: un triple espectral consiste en una representación de una álgebra C* en el espacio de Hilbert junto con un operador no acotado que es compatible con la representación, mientras que una clase de homología K está representada por una representación de una álgebra C* en el espacio de Hilbert junto con un operador acotado que es compatible con la representación. En ambos casos, se trata de captar alguna característica del teorema del índice de Atiyah-Singer y generalizarlo al entorno no conmutativo.
Así que una vez que haya asimilado lo suficiente de la K-homología analítica, probablemente no sería tan difícil volver atrás y abordar parte de la literatura. El libro de Connes es, por supuesto, estupendo si se cuenta con la base adecuada, pero quizá te resulte más fácil abordar su artículo "Noncommutative Differential Geometry", que está muy bien escrito. Llegados a este punto, tendrá que decidir hacia dónde quiere ir: puede profundizar en la geometría no conmutativa propiamente dicha, o puede buscar interacciones entre la geometría no conmutativa y la geometría y topología convencionales. También existe la "teoría de la medida no conmutativa" construida en torno a las álgebras de Von Neumann, pero sé mucho menos sobre ese aspecto.
