¿Qué son los monomorfismos en la categoría de esquemas?

Question

Alguien recientemente preguntó cuáles son los epimorfismos en la categoría de esquemas; el otro día me había planteado una pregunta parecida: ¿cuáles son los monomorfismos en la categoría de esquemas? A menudo me frustra trabajar con esquemas porque, a diferencia de muchas otras categorías, no es inmediato que haya una cancelación a la izquierda de los morfismos cuando se sabe que el mapa subyacente sobre conjuntos es inyectivo, y creo que no debe ser cierto en general, aunque no tengo ningún ejemplo en mente. ¿Existen situaciones agradables o condiciones adicionales que garanticen que se pueden cancelar morfismos de esquemas a la izquierda con seguridad?

Answer 1

En EGA IV, 17.2.6 se da la siguiente caracterización de los monomorfismos:

Sea $f : X \to Y$ sea un morfismo localmente de tipo finito. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

a) $f$ es un monomorfismo.

b) $f$ es radicial y formalmente no ramificado.

c) Para cada $y \in Y$ la fibra $f^{-1}(y)$ está vacío o es isomorfo a $\text{Spec}(k(y))$ .

Obsérvese también que (debido a la adjunción) un morfismo entre esquemas afines es un monomorfismo (en la categoría de esquemas) si y sólo si el homomorfismo de anillos asociado es un epimorfismo (en la categoría de anillos) y estos últimos pueden caracterizarse de muchas maneras. Véase, por ejemplo, este Seminario Samuel y este Discusión MO. Los monomorfismos de esquemas noetherianos se tratan en detalle en el Exposé 7 de Daniel Ferrand.

Más ejemplos:

1) Las inmersiones son monomorfismos; esto se deduce de la propiedad universal de una inmersión cerrada resp. abierta.

2) Un morfismo $X \to Y$ es un monomorfismo si y sólo si la diagonal $X \to X \times_Y X$ es un isomorfismo. En particular, todo monomorfismo es separado.

3) En EGA IV, 18.12.6 se demuestra que los monomorfismos propios son exactamente las inmersiones cerradas.