Ayer, en el breve curso sobre teoría de modelos que estoy impartiendo, di la siguiente bonita aplicación de Lowenheim-Skolem hacia abajo que encontré en W. Hodges Un modelo de teoría más breve :
Thm: Sea $G$ sea un grupo simple infinito, y sea $\kappa$ sea un cardinal infinito con $\kappa \leq |G|$ . Entonces existe un subgrupo simple $H \subset G$ con $|H| = \kappa$ .
(La prueba, breve pero bastante ingeniosa, se reproduce en la p. 10 de http://alpha.math.uga.edu/~pete/modeltheory2010Chapter2.pdf. )
Este ejemplo nos llevó tanto a los estudiantes como a mí (y, mecánica del curso aparte, ciertamente sigo siendo un estudiante de teoría de modelos) a plantearnos algunas preguntas:
$1$ . El teorema es ciertamente sorprendente, pero para garantizar el contenido necesitamos ver un grupo simple incontable sin, digamos, un subgrupo simple contable obvio. No conozco muchos grupos simples incontables. Los ejemplos más familiares son los grupos algebraicos lineales como $\operatorname{PSL}_n(F)$ para $F$ un campo incontable como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Pero esto no ayuda, un campo infinito tiene infinitos subcampos de todas las cardinalidades infinitas -- ¡como uno no necesita Lowenheim-Skolem para ver! (También mencioné el caso de un grupo de Lie simple con centro trivial, aunque no estoy seguro de la diferencia con el ejemplo anterior). El único buen ejemplo que conozco lo proporciona el teorema de Schreier-Ulam-Baer: sea $X$ sea un conjunto infinito. Entonces el cociente de $\operatorname{Sym}(X)$ por el subgrupo normal de todas las permutaciones que se mueven menos de $|X|$ elementos es un grupo simple de cardinalidad $2^{|X|}$ . (Hmm -- al menos lo es cuando $X$ es contablemente infinito. Me pone un poco nervioso la cardinalidad del subgrupo normal en el caso general. Tal vez quiero un cardinal inaccesible o algo así, pero me estoy poniendo un poco fuera de mi profundidad). Entonces:
¿Existen otros buenos ejemplos de grupos simples incontables?
$2$ . Al principio de la demostración del teorema, señalé que la aplicación directa de Lowenheim-Skolem para producir un subgrupo $H$ de cardinalidad $\kappa$ que se inserta elementalmente en $G$ no es suficiente, porque no está claro si la clase de los grupos simples, o su negación, es elemental. Después escribí esto en un aparador como pregunta:
¿Es la clase de los grupos simples (o la clase de los grupos no simples) una clase elemental?
Alguien me preguntó qué técnicas se podían aplicar para intentar dar respuesta a un problema como éste. Buena pregunta.
$3$ . El resultado de Hodges es el que aparece en mis apuntes de clase. Pero cuando lo escribí en la pizarra, sin ninguna razón en particular decidí escribir $\kappa < |G|$ en lugar de $\kappa \leq |G|$ . Me preguntaron sobre esto, y estaba listo con mi defensa: $G$ es un subgrupo simple de $G$ de cardinalidad $|G|$ . Pero entonces remarcamos mutuamente que en el caso de $\kappa = |G|$ podríamos pedir un correcto subgrupo simple $H$ de $G$ de cardinalidad $|G|$ . Mi respuesta fue: bueno, veamos si la prueba nos da este resultado más sólido. Pues no. Por lo tanto:
Sea $G$ sea un grupo simple infinito. ¿Debe existir un correcto subgrupo simple $H$ de $G$ con $|H| = |G|$ ?
Espera, acabo de recordar la existencia de Monstruos de Tarski . Así que la respuesta es no. Pero ¿y si exigimos $G$ ser incontable?
