Tres preguntas sobre grandes grupos simples y teoría de modelos

Question

Ayer, en el breve curso sobre teoría de modelos que estoy impartiendo, di la siguiente bonita aplicación de Lowenheim-Skolem hacia abajo que encontré en W. Hodges Un modelo de teoría más breve :

Thm: Sea $G$ sea un grupo simple infinito, y sea $\kappa$ sea un cardinal infinito con $\kappa \leq |G|$ . Entonces existe un subgrupo simple $H \subset G$ con $|H| = \kappa$ .

(La prueba, breve pero bastante ingeniosa, se reproduce en la p. 10 de http://alpha.math.uga.edu/~pete/modeltheory2010Chapter2.pdf. )

Este ejemplo nos llevó tanto a los estudiantes como a mí (y, mecánica del curso aparte, ciertamente sigo siendo un estudiante de teoría de modelos) a plantearnos algunas preguntas:

$1$ . El teorema es ciertamente sorprendente, pero para garantizar el contenido necesitamos ver un grupo simple incontable sin, digamos, un subgrupo simple contable obvio. No conozco muchos grupos simples incontables. Los ejemplos más familiares son los grupos algebraicos lineales como $\operatorname{PSL}_n(F)$ para $F$ un campo incontable como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Pero esto no ayuda, un campo infinito tiene infinitos subcampos de todas las cardinalidades infinitas -- ¡como uno no necesita Lowenheim-Skolem para ver! (También mencioné el caso de un grupo de Lie simple con centro trivial, aunque no estoy seguro de la diferencia con el ejemplo anterior). El único buen ejemplo que conozco lo proporciona el teorema de Schreier-Ulam-Baer: sea $X$ sea un conjunto infinito. Entonces el cociente de $\operatorname{Sym}(X)$ por el subgrupo normal de todas las permutaciones que se mueven menos de $|X|$ elementos es un grupo simple de cardinalidad $2^{|X|}$ . (Hmm -- al menos lo es cuando $X$ es contablemente infinito. Me pone un poco nervioso la cardinalidad del subgrupo normal en el caso general. Tal vez quiero un cardinal inaccesible o algo así, pero me estoy poniendo un poco fuera de mi profundidad). Entonces:

¿Existen otros buenos ejemplos de grupos simples incontables?

$2$ . Al principio de la demostración del teorema, señalé que la aplicación directa de Lowenheim-Skolem para producir un subgrupo $H$ de cardinalidad $\kappa$ que se inserta elementalmente en $G$ no es suficiente, porque no está claro si la clase de los grupos simples, o su negación, es elemental. Después escribí esto en un aparador como pregunta:

¿Es la clase de los grupos simples (o la clase de los grupos no simples) una clase elemental?

Alguien me preguntó qué técnicas se podían aplicar para intentar dar respuesta a un problema como éste. Buena pregunta.

$3$ . El resultado de Hodges es el que aparece en mis apuntes de clase. Pero cuando lo escribí en la pizarra, sin ninguna razón en particular decidí escribir $\kappa < |G|$ en lugar de $\kappa \leq |G|$ . Me preguntaron sobre esto, y estaba listo con mi defensa: $G$ es un subgrupo simple de $G$ de cardinalidad $|G|$ . Pero entonces remarcamos mutuamente que en el caso de $\kappa = |G|$ podríamos pedir un correcto subgrupo simple $H$ de $G$ de cardinalidad $|G|$ . Mi respuesta fue: bueno, veamos si la prueba nos da este resultado más sólido. Pues no. Por lo tanto:

Sea $G$ sea un grupo simple infinito. ¿Debe existir un correcto subgrupo simple $H$ de $G$ con $|H| = |G|$ ?

Espera, acabo de recordar la existencia de Monstruos de Tarski . Así que la respuesta es no. Pero ¿y si exigimos $G$ ser incontable?

Answer 1

La clase de los grupos simples no es elemental. Para ver esto, primero observa que si lo fuera, entonces un ultraproducto de grupos simples sería simple. Pero un ultraproducto de los grupos alternos finitos claramente no es simple. (Un $n$ -ciclo no puede expresarse como un producto de menos de $n/3$ conjugados de $(1 2 3)$ y por tanto un ultraproducto de $n$ -no se encuentra en el cierre normal del ultraproducto de $(1 2 3)$ . )

Resulta que un ultraproducto $\prod_{\mathcal{U}} Alt(n)$ tiene un único subgrupo normal propio maximal y el correspondiente cociente $G$ es un grupo simple incontable. Este grupo $G$ tiene la propiedad de que un grupo contable $H$ es sófica si y sólo si $H$ incrusta en $G$ . Por este motivo, $G$ se dice que es un grupo sofico universal.

En cuanto a tu tercera pregunta, Shelah ha construido un grupo $G$ de cardinalidad $\omega_{1}$ que no tiene subgrupos propios incontables. Es evidente que $Z(G)$ es contable. Consideremos $H = G/Z(G)$ . Entonces $H$ tampoco tiene subgrupos propios incontables.Además, toda clase de conjugación no trivial de $H$ es incontable y se deduce que $H$ es simple.

Answer 2

Otro ejemplo bastante bonito: el grupo de automorfismos de $[0,1]$ dotados de la medida de Lebesgue (es decir, mapas bimensurables que preservan la medida, identificados cuando coinciden fuera de un conjunto de medida de Lebesgue cero). En una línea afín, el grupo completo de cualquier relación de equivalencia de Borel contable, ergódica y preservadora de la medida de probabilidad sobre $[0,1]$ es simple.

Answer 3

Otro ejemplo de un ultraproducto de grupos simples que no es simple (algo más tonto que el de Simon): tomemos algún (cualquier) ultraproducto no principal de los grupos cíclicos finitos $Z_p$ como $p$ abarca todos los primos. Este ultraproducto debe ser infinito y abeliano (ya que la conmutatividad es una propiedad elemental), pero cualquier grupo abeliano infinito tiene un subgrupo propio, por lo que no puede ser simple.

(Digo "más tonto" que el ejemplo de los grupos alternos porque parece que a nadie le interesan los grupos abelianos simples, así que la respuesta de Simon se ocupa de la pregunta de seguimiento natural).

Bien, en cuanto a "¿cuáles son algunas técnicas generales para abordar un problema como éste?", yo me fijaría primero en el teorema 4.1.12 del libro de Chang y Keisler Teoría de modelos libro de texto: una clase de estructuras es elemental si y sólo si es cerrada tanto bajo ultraproductos como bajo equivalencia elemental. Esto parece relevante porque los ultraproductos, al menos, parecen un concepto relativamente natural para los algebristas, y dependiendo de la clase en particular, se podría esperar encontrar también una definición algebraica de "elementalmente equivalente".

Answer 4

Acabo de recordar otra familia de grupos simples de cardinalidad arbitrariamente grande.

Teorema (D. Lascar, 1995) Sea $L/K$ sea una extensión de campo con $L$ y $K$ algebraicamente cerrado y $\operatorname{trdeg}(L/K) > \aleph_0$ . Entonces $\operatorname{Aut}(L/K)$ es un grupo simple.

Puesto que también es cierto que para todo campo algebraicamente cerrado $K$ , $|\operatorname{Aut}(K)| = 2^{|K|}$ (por ejemplo, el teorema 80 de http://alpha.math.uga.edu/~pete/FieldTheory.pdf ), se deduce que para todo campo algebraicamente cerrado incontable $K$ de característica $0$ , $\operatorname{Aut}(K/\overline{\mathbb{Q}})$ es un grupo simple de cardinalidad $2^{|K|}$ .

Este resultado me recuerda mucho al teorema de Schreier-Ulam-Baer, y a veces me he preguntado ociosamente si existe alguna explicación común o un resultado más general que se especialice en estos dos teoremas. (Ocioso de hecho porque apenas he mirado la demostración de ninguno de los dos teoremas).

Answer 5

En el teorema de Lascar (publicado por Pete) se supone que el grado de trascendencia de $L$ en $K$ es incontable (MR1689847 (2000g:20009) ). Para un grado de trascendencia contable se conoce algo más débil. Hace unos años pregunté a Lascar por el caso de grado finito, y me dijo que está abierto y parece muy difícil (es decir, si $tr deg_K(L)<\omega$ entonces $Aut(L/K)$ es sencillo).