Proceso gaussiano con incrementos estacionarios independientes y media y varianza discontinuas

Question

Considere un problema y su demostración en el enlace . El problema se reduce a lo siguiente: demostrar que un proceso gaussiano continuo con incrementos estacionarios independientes tiene funciones de media y varianza continuas. Evidentemente, la condición de continuidad en la trayectoria puede sustituirse por la condición de continuidad en la probabilidad. Pero, ¿es cierto que la condición de continuidad puede suprimirse por completo? ¿O existe un proceso gaussiano con incrementos estacionarios independientes que tiene media y varianza discontinuas?

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $X_t$ sea un proceso gaussiano con incrementos estacionarios independientes (proceso gaussiano de Levy). Establezca \begin{align*} a(t) &:= \mathbb{E}[X_t]\\ b(t) &:= \mathrm{Var}[X_t] \end{align*} Tenga en cuenta que $a,b$ son funciones aditivas y $b$ no decrece. Como la gráfica de una función aditiva no lineal es densa en $\mathbb{R}^2$ , $b$ debe ser lineal y, por tanto, continua. Pero $a$ puede ser discontinua. De hecho, el proceso degenerado $X'_t := \mu(t)$ donde $\mu$ es cualquier función aditiva no lineal, es exactamente un ejemplo de un proceso gaussiano de Levy que tiene media discontinua.