Variedades algebraicas y topología de Zariski

Question

Dado un conjunto $S \subset F[x_1, \dotsc ,x_n]$ de polinomios, una variedad afín se define por $S$ es el conjunto

$$V(S) := \{a \in A^n \mid f(a) = 0\ \ \ \forall f \in S\}$$

Y la topología zariski define que los conjuntos cerrados son exactamente $V(S)$ . Pero, la definición de conjuntos cerrados en la topología de Zariski que he visto y con la que he trabajado es $$V(I) = \{P: P \in \text{Spec}(R), I \subseteq P \},$$ donde $R$ es un anillo, $I$ es cualquier ideal de $R$ y $P$ es un ideal primo.

¿Por qué son equivalentes estas dos definiciones? ¿Cómo pasamos de conjuntos de funciones (presumiblemente funciones sobre $R$ ?) a ideales primos de $R$ ?

Answer 1

Las definiciones no son equivalente. Sin embargo, están relacionados.

Si $F$ es algebraicamente cerrado, los ideales maximales de $R=F[x_1,\ldots,x_n]$ son de la forma $\left<x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n\right>$ donde $(a_1,\ldots,a_n)$ atraviesa $F^n=\Bbb A^n(F)$ . Podemos definir $\text{mSpec}(R)$ El espectro ideal máximo de un anillo conmutativo $R$ como el conjunto de sus primos ideales. Entonces podemos identificar $\Bbb A^n(F)$ con $\text{mSpec}(F[x_1,\ldots,x_n])$ .

Por supuesto, $\text{mSpec}(R)$ es un subconjunto de $\text{Spec}(R)$ la colección de ideales primos de $R$ . Ha definido la topología de Zariski en $\text{Spec}(R)$ y la topología del subespacio define una topología de Zariski en $\text{mSpec}(R)$ . En el caso $R=F[x_1,\ldots,x_n]$ esto es lo mismo que la topología de Zariski que ha definido en $\Bbb A^n(F)$ . Usted definió $V(S)$ para un conjunto de polinomios, pero $V(S)=V(\left<S\right>)$ donde $\left<S\right>$ es el ideal generado por $S$ así que no hay pérdida en considerar $V(I)$ para ideales $I$ . Así que el $V(I)$ para $\Bbb A^n(F)$ está en vigor $V(I)\cap\text{mSpec}(F[x_1,\ldots,x_n])$ donde ahora el $V(I)$ viene dada por su fórmula para anillos arbitrarios.