$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^x$

Question

¿Cómo puedo calcular $\lim_{x\rightarrow 0^+}x^x$ ?

Sólo puedo escribirlo de la forma $e^{x\ln x}$ . Me gustaría utilizar la regla de L'Hospital de alguna manera, pero no puedo escribirla en forma de fracciones.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$y=x^x\iff \ln y=x\ln x=\frac{\ln x}{\frac1x}$$ que es de la forma $\frac\infty\infty$ como $x\to 0^+$

Así que aplicando la Regla de L'Hospital

$$\lim_{x\to0^+} \ln y=\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0$$

Answer 2

Considere $f(x) = x \ln x$ por separado. Tenga en cuenta que $\lim_{t \to \infty} e^{-t} = 0$ por lo que tenemos $\lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{t \to \infty} f(e^{-t})= \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t) = - \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0$ .

De ello se deduce que $\lim_{x \downarrow 0} x^x = \lim_{x \downarrow 0} e^{f(x)} = 1$ .

Answer 3

$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^x= e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}x\ln x}$ como $e^x$ es una función continua.

$\lim_{x\rightarrow 0^+}x\ln x=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

Ahora, puedes aplicar la Regla de L'Hopital