Analizar la aclaración de la forma lógica

Question

Quiero referirme al ejemplo 2.3.1 del libro de Velleman " Cómo demostrarlo " . Se pide analizar la forma lógica de $\{x_i\; | \; i\in I\} \subseteq A$ . Se dan dos posibles respuestas. La primera es $\forall x(\exists i\in I(x=x_i) \rightarrow x\in A)$ lo cual entiendo. El segundo es $\forall i\in I(x_i\in A)$ . No entiendo cómo pasar de la primera a la segunda. Agradecería cualquier guía. Gracias de antemano.

Answer 1

Las dos afirmaciones son equivalentes. Para entender por qué, es mejor echar un vistazo más de cerca a la forma lógica de las dos afirmaciones.

En primer lugar, una aclaración. Una declaración de la forma $\forall i \!\in\! I \, P(i)$ es una abreviatura de $\forall i (i \in I \to P(i))$ . Del mismo modo, una declaración de la forma $\exists i \!\in\! I \, P(i)$ es una abreviatura de $\exists i (i \in I \land P(i))$ .

Teniendo esto en cuenta, veamos cómo demostrar que la primera afirmación

$\forall x(\exists i \in I(x=x_i) \to x \in A)$ Eso es, $\forall x (\exists i (i \in I \land x =x_i) \to x \in A)$ ),

es equivalente a la segunda afirmación

$\forall i \in I (x_i \in A)$ Eso es, $\forall i (i \in I \to x_i \in A))$ ,

utilizando las leyes generales de equivalencias lógicas .

\begin{align} &\quad \ \forall x (\exists i (i \in I \land x =x_i) \to x \in A) & \\ & \equiv \forall x \forall i ((i \in I \land x = x_i) \to x \in A) &&\text{(because $(\exists i P(i)) \to Q \equiv \forall i (P(i) \to Q)$)} \\ & \equiv \forall x \forall i (i \in I \to (x = x_i \to x \in A)) &&\text{(because $(P \land Q) \to R \equiv P \to (Q \to R)$)} \\ &\equiv \forall i (i \in I \to \forall x (x = x_i \to x \in A)) &&\text{(because $\forall x(P \to Q(x)) \equiv P \to \forall xQ(x)$)} \\ &\equiv \forall i (i \in I \to x_i \in A)) &&\text{(because of the laws for $=$)} \end{align}