Describiré aquí un principio general de la formación de un condensado mediante enfriamiento. Este principio debería ser esencialmente válido para todos los casos como BEC, BCS, superfluidez, etc.
La descripción que aquí se ofrece es sólo a nivel conceptual, de modelo de juguete. Los detalles de la aplicación teórica y experimental en un caso realista son mucho más complicados. La aplicación real puede diferir significativamente entre los distintos casos y entre los métodos experimentales.
Para un sistema con rotura espontánea de simetría, el estado básico condensado macroscópico es un estado coherente; véase por ejemplo el razonamiento dado en la sección 2 de la siguiente trabajo por Yulakov, en el caso de la condensación de Bose-Einstein. En esta descripción, la función de onda macroscópica es el valor propio del operador de campo $\hat{\Psi}(\mathbf{r})$ :
$$\hat{\Psi}(\mathbf{r}) |\Phi \rangle = \psi(\mathbf{r}) |\Phi \rangle $$
$|\Phi \rangle$ es el estado básico macroscópico, y $\psi(\mathbf{r})$ es la función de onda macroscópica.
Así, formalmente el estado macroscópico puede escribirse como: $$|\Phi \rangle = e^{\int \psi(\mathbf{r}) a^{\dagger}(\mathbf{r})) dr} |0 \rangle $$
Dónde $|0 \rangle $ es el vacío ininterrumpido y $ a^{\dagger}(\mathbf{r}) $ son los operadores de creación en el lugar $\mathbf{r} $ (por supuesto, esta ecuación es una generalización teórica de campo del estado coherente monomodo: $e^{\alpha a^{\dagger}}|0 \rangle $ .
El proceso de enfriamiento debe transformar el estado del sistema de un estado térmico, al estado coherente descrito anteriormente. Por supuesto, la dinámica del proceso de enfriamiento no puede ser hamiltoniana, ya que la dinámica hamiltoniana no puede convertir un estado mixto en un estado puro. Sin embargo, la dinámica del proceso de enfriamiento puede aproximarse mediante Lindblad dynamis que generalizan la dinámica de Schrödinger en el caso de sistemas abiertos o impulsados estocásticamente. La dinámica de Lindblad puede describir la disipación y también el proceso de depuración mencionado. Los detalles completos en nuestro caso pueden depender del método de enfriamiento y del sistema específico y pueden ser bastante complicados. Por ello, a continuación describiré en principio este proceso en el caso de un solo modo: Cómo evoluciona un estado térmico a un estado coherente:
En la dinámica de Lindblad, la evolución del operador de densidad viene dada por:
$$\dot{\rho} = \frac{i}{\hbar} [H, \rho] + \mu L \rho L^{\dagger} - \frac{1}{2} \{ L^{\dagger} L, \rho \}$$ Esta ecuación conserva la traza de la matriz de densidad en 1. El primer término es el término hamiltoniano habitual. El operador $L$ es el operador Lindblad. La elección del operador de Lindblad controla la disipación o la depuración en nuestro caso. En el caso de que el Hamiltoniano sea Lineal $$H = - i (\bar{\lambda} a - \lambda a^{\dagger})$$
y el operador de Lindblad se elige como operador de aniquilación $L=a$ el sistema Lindblad evoluciona hacia el estado coherente $e^{\alpha a^{\dagger}}$ con $\alpha = \frac{2 \lambda}{\mu}$ desde cada estado inicial en el que comienza.
Los siguientes trabajo de Barnett explica detalladamente el punto anterior. También explica la estabilidad del estado coherente en comparación con los estados numéricos.
La propiedad de ciertos operadores de Lindblad de hacer converger la dinámica en un estado coherente es general y no se limita al caso anterior de un solo modo.
Ahora, durante el proceso de evolución, la matriz de densidad interpola entre el estado térmico inicial y el estado coherente final. Barnett elige la fidelidad:
$$F = \langle \Phi_{\infty} | \rho(t) |\Phi_{\infty} \rangle$$
como medida de este proceso de depuración ( $|\Phi_{\infty} \rangle$ es el estado estacionario). En nuestro caso, la fidelidad comienza en un número muy pequeño para el stste térmico y llega a uno cuando el sistema se convierte en un condensado completo.
Como he mencionado anteriormente, hay muchos más detalles en la aplicación real del proceso de enfriamiento, por favor vea lo siguiente presentación para más detalles.
