Fuerza de consistencia de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Question

He encontrado varias referencias a MK (teoría de conjuntos de Morse-Kelley), que incluye la idea de una clase propia, una limitación de tamaño, incluye el esquema axiomático de comprensión a través de variables de clase (así que para cualquier $\phi(x,\overline y)$ con $x$ restringido a conjuntos, existe una clase $X=(x : \phi(x,\overline y))$ ).

He visto varias declaraciones sobre MK y cómo demuestra la consistencia de varias cosas, incluyendo $Con(ZF)$ , $Con(ZFC)$ , $Con(NBG)$ y, de hecho, para cualquier $T\subset MK$ finitamente axiomatizada, demuestra $Con(T)$ .

Sin embargo, y lo que es bastante frustrante, no veo ninguna referencia que respalde estas afirmaciones, salvo ocasionalmente enlaces a otros lugares donde se hizo la afirmación, pero no se demostró (ni siquiera se hizo un esbozo de prueba). Agradecería mucho una referencia donde pueda ver una prueba de estas afirmaciones, o (si es más fácil) un esbozo rápido de por qué debería ser cierto.

No me parece obvio por qué la cuantificación a través de clases propias debería permitir este tipo de cosas, ya que todos los conjuntos relevantes (conjuntos de pruebas, o conjuntos de enunciados, o lo que sea) deberían estar contenidos en algún subconjunto de $\omega$ por lo que debería poder construirse en $ZF$ .

Answer 1

Permítanme dar una respuesta más fácil (esbozo de una) a la parte de la pregunta sobre la demostración de Con(ZFC) en MK. A diferencia de la respuesta de Emil, la siguiente no cubre el caso de subteorías arbitrarias finitamente axiomatizadas de MK. Intuitivamente, hay un argumento "obvio" para la consistencia de ZFC: Todos sus axiomas son verdaderos cuando las variables se interpretan como extendiéndose sobre conjuntos arbitrarios. (El universo es un modelo de ZFC, excepto que no es un conjunto.) Y cualquier cosa deducible de axiomas verdaderos es verdadera, así que no se pueden deducir contradicciones de ZFC. El problema con este argumento es que se basa en una noción de "verdad en el universo" que no puede definirse en ZFC. ¿Qué falla si se intenta definir, en el lenguaje de ZFC, esta noción de verdad (o satisfacción) en el universo? Al igual que en la definición de la verdad en un modelo (del tamaño de un conjunto), se procedería por inducción sobre fórmulas, y no hay ningún problema con las fórmulas atómicas y las conectivas proposicionales. Sin embargo, los cuantificadores plantean el siguiente problema: el valor de verdad de $\exists x\ \phi(x)$ depende de los valores de verdad de todas las instancias $\phi(a)$ y hay una clase adecuada de estos. Para demostrar que las definiciones por recursión definen realmente funciones, hay que reformular la recursión en términos de funciones parciales que den suficiente evidencia de valores particulares de la función que se está definiendo. (Por ejemplo, la definición habitual del factorial puede convertirse en una definición explícita diciendo $n!=z$ si existe una secuencia $s$ de longitud $n$ con $s_1=1$ y $s_k=ks_{k-1}$ para $2\leq k\leq n$ y $s_n=z$ .) Si se utiliza el mismo método para explicitar la definición de "verdad en el universo", se encuentra que las "pruebas" (análogas a $s$ para el factorial) debe ser una clase propia. Así que ZFC no puede manejar eso (y es bueno que no pueda, porque si no probaría su propia consistencia). Pero MK sí puede; está diseñado para tratar bien la cuantificación de clases propias. Así que en MK, uno puede definir lo que significa que una fórmula sea verdadera en el universo ZFC. Entonces uno puede probar que todos los axiomas ZFC son verdaderos en este sentido y la verdad se preserva por deducción lógica (aquí uno usa inducción sobre el número de pasos en la deducción). Por tanto, la deducción a partir de los axiomas ZFC nunca puede llevar a contradicciones.

Answer 2

Este es un ejemplo de un resultado mucho más general. (Véase Visser [2] para una visión general de varios principios relacionados.) Una teoría se llama secuencial si admite la codificación de secuencias de sus objetos con algunas propiedades básicas. Como parte de la definición (que omito aquí por ser técnica y no particularmente relevante, puede encontrarse en Pudlák [1]; véase Visser [3] para más discusión), una teoría secuencial tiene algunos números naturales designados (que sirven como longitudes de secuencias) definidos por un predicado $N(x)$ . Las teorías habituales de conjuntos o clases son secuenciales, con $N(x)$ en $x\in\omega$ .

Teorema: Para cualquier teoría secuencial $T$ son equivalentes:

1. $T$ demuestra la inducción completa: el esquema $$\forall\bar y\,[\varphi(0,\bar y)\land\forall x\,(N(x)\land\varphi(x,\bar y)\to\varphi(x+1,\bar y))\to\forall x\,(N(x)\to\varphi(x,\bar y))]$$ para todas las fórmulas $\varphi$ .

2. $T$ es uniformemente esencialmente reflexiva: para cada fórmula $\varphi(x)$ y una subteoría finita $S\subseteq T$ , $T$ prueba $N(x)\land\Pr_S(\left\ulcorner\varphi(\dot x)\right\urcorner)\to\varphi(x)$ donde $\Pr_S$ denota el predicado de demostrabilidad de $S$ y $\dot x$ el número de $x$ .

MK demuestra la inducción completa, ya que tiene inducción para subconjuntos de $\omega$ y el esquema de comprensión completa garantiza que cualquier propiedad de los números naturales definida por una fórmula define realmente un subconjunto de $\omega$ . (Nótese que esto falla para NBG: debido a las restricciones en su esquema de comprensión, NBG en general no puede demostrar inducción para fórmulas con cuantificadores de clase). Así, MK es uniformemente esencialmente reflexivo. En particular, si tomamos $0\ne0$ (sin aparición de $x$ ) para $\varphi$ vemos que MK demuestra $\neg\Pr_S(\left\ulcorner0\ne0\right\urcorner)$ es decir, $\mathrm{Con}_S$ para cada subteoría finita $S$ como $S=\mathrm{NBG}$ .

La idea principal de la prueba de $1\to2$ (que se remonta a Montague) es que, utilizando la codificación de secuencias, se pueden dar definiciones de verdad parciales (es decir, definiciones de verdad para cualquier conjunto finito de fórmulas, incluidas sus instancias de sustitución). Razonando dentro de la teoría, si $S$ prueba $\varphi$ entonces, por el teorema de eliminación de cortes, tiene una prueba secuencial donde cada fórmula es una subfórmula de algo en $S$ ou $\varphi$ . Utilizando una definición de verdad parcial para este conjunto finito de fórmulas, se demuestra por inducción sobre la longitud de la prueba que todos los secuentes de la prueba son verdaderos, por lo tanto también $\varphi$ retenciones.

Referencias:

[1] Pavel Pudlák: Recortes, declaraciones de coherencia e interpretaciones Journal of Symbolic Logic 50 (1985), nº 2, pp. 423-441, doi: 10.2307/2274231 .

[2] Albert Visser: Lógica de la interpretabilidad Serie de preimpresos del Grupo de Lógica vol. 174 .

[3] Albert Visser: Pares, conjuntos y secuencias en teorías de primer orden Serie de preimpresos del Grupo de Lógica vol. 251 .

Answer 3

Con respecto al hecho de que la teoría de conjuntos de Kelley-Morse demuestra Con(ZFC) y mucho más, escribí una entrada en mi blog explicando una forma de hacerlo.

Kelley-Morse implica Con(ZFC) y mucho más

El esquema básico de la prueba es mostrar que KM prueba la existencia de un predicado de verdad de clase Tr para la verdad de primer orden (y esto es lo que Andreas también sugiere en su respuesta), y luego probar que este predicado de verdad decreta que cada axioma de ZFC es verdadero. Se deduce por reflexión que habrá segmentos iniciales de rango $V_\theta$ que tiene la misma relación de satisfacción, y por tanto son modelos transitivos de ZFC, y de hecho KM prueba que el universo es la unión de una torre elemental cerrada no limitada $$V_{\theta_0}\prec V_{\theta_1}\prec\cdots\prec V_\lambda\prec\cdots\prec V.$$ Alternativamente, un argumento más sintáctico procede observando que el predicado de verdad es cerrado bajo deducción, completo y no contiene contradicciones explícitas, por lo que proporciona una extensión completa consistente de ZFC.

Siga el enlace para obtener más información.

Answer 4

ZF puede describir el conjunto de fórmulas que no son demostrables en ZF, pero, a menos que sea inconsistente, no puede demostrar que ese conjunto no es vacío. Mostowski demostró que MKM puede demostrar que este conjunto no es vacío:

@article{0039.27601, author="Mostowski, Andrzej", title="{Algunas definiciones impredicativas en la teoría axiomática de conjuntos.}", language="Inglés", journal="Fundam. Math, volume="37", pages="111-124", year="1950", keywords="{teoría de conjuntos}", }

Answer 5

Recientemente he construido una prueba de la consistencia relativa de ZFC con MK utilizando un modelo interno. Para que esta prueba funcione, MK se axiomatiza sobre una lógica de predicados libres con descripciones. La idea de la prueba es definir dentro de MK nuevas nociones "primitivas" como

((x en A) si (x en A y A en U))

El siguiente paso es demostrar en MK todos los aiomas para ZFC pero enunciados en la nueva notación.

Con mucho gusto le enviaré un pdf de la prueba.

BobAlps@aol.com