el espacio dual de C(X) (X es un espacio métrico no compacto)

Question

Es bien sabido que cuando $X$ es un espacio compacto (o localmente compacto), el espacio dual de $C(X)=\{f |f: X\rightarrow \mathbb{C} \text{ is continuous and bounded} \}$ es $M(X)$ el espacio de las medidas de Radon con variación acotada.

Sin embargo, según mis conocimientos, hay pocos libros que discutan el caso cuando X es no compacto, por ejemplo un espacio métrico completo separable.

Incluso para el ejemplo más simple, al tomar $X=\mathbb{R}$ ¿Qué significa $(C(X))^{*}$ ¿Qué quieres decir?

Cualquier consejo y referencia serán muy apreciados.

Answer 1

Lo que usted afirma en el primer párrafo es el Teorema de la Representación de Riesz (véase wikipedia ). Esto es válido para todos los espacios de Hausdorff localmente compactos; así en particular para $\mathbb R$ (ah, supongo que si miras $C_0(\mathbb R)^*$ ).

Si $X$ es cualquier espacio topológico, entonces por supuesto podemos hablar de $C^b(X)$ (las funciones continuas acotadas en $X$ ). Esto sigue siendo un C $^*$ -por lo que es isomorfa a $C(K)$ donde $K$ es un espacio compacto de Hausdorff. El proceso de pasar de $X$ a $K$ es functorial; a nivel puramente topológico corresponde a la construcción de la compactificación Stone-Cech (véase wikipedia ). Evaluación de puntos en $x\in X$ induce un carácter en $C^b(X) = C(K)$ y por tanto un punto $k$ de $K$ obtenemos un mapa (continuo) $X\rightarrow K$ . Es inyectiva si $X$ es completamente regular; pero puede no ser inyectiva (básicamente, puede que nos falten suficientes funciones continuas para separar puntos de $X$ ).

Volviendo a su pregunta: $C^b(X)^* = C(K)^* = M(K)$ . Para $\mathbb R$ encontramos que $K$ no es más que $\beta\mathbb R$ la compactación Stone-Cech (¡un espacio bastante grande!)

Answer 2

El problema de obtener una generalización útil del teorema de representación de Riesz para espacios no compactos fue abordado en los años 50 por R.C. Buck, entre otros. Estaba claro que era necesario salir del contexto de los espacios de Banach para obtener una teoría agradable. Buck introdujo la llamada topología estricta en el espacio de las funciones continuas acotadas en un espacio localmente compacto y demostró que el dual es el espacio de las medidas de Radon acotadas en el espacio subyacente. En los años 60 se generalizó al caso de los espacios completamente regulares mediante la teoría de las topologías mixtas o espacios de Saks, desarrollada por la escuela polaca. La definición más sucinta de la topología resultante en el espacio anterior es que se trata de la topología localmente convexa más fina que coincide con la convergencia compacta en conjuntos acotados. Existe una teoría relativamente completa; en particular, el teorema de la representación de Riesz se cumple en su forma natural.

Answer 3

Una buena referencia, tomada de mi respuesta a otra pregunta :

V. S. Varadarajan, MEASURES ON TOPOLOGICAL SPACES, AMS Transl. 48 (1965) 161--228.

Medidas sobre espacios topológicos como duales de funciones continuas sobre el espacio, o de funciones continuas acotadas sobre el espacio. (Atención también a un error en el apéndice).