Problema de tablero de ajedrez

Question

¿Es posible escribir los números 1, 2,..., 25 en la Plaza de un tablero de ajedrez de 5 por 5 (un número por metro cuadrado) tal que cualquier dos números vecinos diferencian por a lo más 4?

(Dos números son vecinos si están escritas en casillas que comparten un lado.)

Gracias, el problema era de una matemáticas Olimpiada por lo que podría resultar ser muy complicado :/

Cualquier ayuda se agradece! ¡ Gracias! :)

Answer 1

Bien, permítame darle a esto un bash.

Con el fin de obtener una contradicción, supongamos que hay una manera de escribir los números de $1, 2, ..., 25$ en las plazas de la junta de tal manera que todos los vecinos difieren en más de 4.

Citemos las filas de la junta de $1, 2, 3, 4, 5$ a través de y lo mismo para las columnas $1, 2, 3, 4, 5$ hacia abajo, para su comodidad. Tan cuadrado $(1;1)$ es la esquina superior izquierda y $(5;5)$ es la esquina inferior derecha.

Tenga en cuenta que si $x$ está escrito en la plaza de $(i;j)$, entonces el cuadrado de $(i+1;j+1)$ (o en cualquier plaza que está en diagonal a los vecinos de $(i;j)$ es en la mayoría de las $x+7$, debido a que las plazas $(i;j+1)$ $(i+1;j)$ contienen los números máximos $x+3$ $x+4$ en un cierto orden.

En primer lugar, el número de $1$ debe estar escrito en algún borde de la plaza, porque si no, entonces es necesario tener vecinos,$2, 3, 4$$5$, pero, a continuación, $2$ debe tener dos vecinos que no están en la lista de arriba que hace que la diferencia más grande que $4$. Por lo $1$ debe estar escrito en algún borde de la junta.

Si está escrito en, digamos, $(2;1)$, luego plazas $(3;2), (4;3), (5;4)$ contienen los números máximos $8, 15$ $22$ respectivamente. Pero esto deja sólo el cuadrado de $(5;5)$ por tanto $24$$25$, lo cual es una imposibilidad.

Si $1$ está escrito en la plaza de $(3;1)$, entonces el cuadrado de $(5;5)$ contiene un número de no más de $1+2$ x $7+2$ x $4$ = $23$, no dejando espacio para $25$. Por un doble argumento (el uso de $25$ en lugar de $1$) se deduce que $25$ debe ser escrito en una esquina de la plaza.

Supongamos que $1$ está escrito en la plaza de $(1;1)$ $25$ sobre el cuadrado de $(5;5)$. A continuación, los números de $2, 3, 4$ debe ser escrito en las plazas del conjunto ${(2;1),(1;2),(3;1),(2;2),(1;3)}$.

En particular, el número de $3$ debe estar escrito en cualquiera de las $(1;2)$ o $(2;1)$: Suponga que el $3$ está escrito en la plaza de $(3;1)$. A continuación, plazas $(4;2)$ $(5;3)$ contienen valores máximos de $10$ $17$ respectivamente, lo que implica que las plazas $(4;5)$ $(5;4)$ contienen los números máximos $22$ $21$ respectivamente. Como antes, esto deja sólo el cuadrado de $(5;5)$ abierto para $23, 24$ $25$ lo cual es imposible. Un argumento similar se aplica para cuando $3$ está escrito en $(1;3)$.

Si $3$ está escrito en la plaza de $(2;2)$, luego plazas $(3,3),(4;4),(5;5)$ contienen la máxima numbres $10, 17$ $24$ respectivamente, dejando sin plaza para $25$ a de ser por escrito. Como $2 < 3$, no puede ser reflejada (por la misma razón) en cualquiera de $(1;3),(2;2),(3;1)$, lo $2$ $3$ debe ocupar plazas $(1;2)$$(2;1)$, en un cierto orden.

Ahora nos encontramos con que no hay espacio para 4 en el tablero. Si se va hacia la plaza de $(3;1)$ o $(1;3)$, tenemos los números máximos $23$ $22$ plazas $(4;5)$ $(5;4)$ (en orden), dejando una vez más, sólo una plaza para ambos $24$$25$.

Esto nos da la necesaria contradicción, por lo tanto creo que el problema está resuelto: no, no es posible escribir los números en un tablero de ajedrez como tal.

Espero que esto tiene algún sentido, y estoy abierto a cualquier correcciones o sugerencias. Saludos