He consultado las numerosas preguntas sobre este teorema en este sitio web, pero ninguna de ellas aborda exactamente lo que me pregunto. Para completar, voy a enunciar el teorema a continuación y la parte de la prueba que me estoy preguntando.
2.41 Teorema Si un conjunto $E$ sur $\mathbb{R}^{k}$ tiene una de las tres propiedades siguientes, entonces tiene las otras dos:
- $E$ es cerrado y acotado.
- $E$ es compacto.
- Todo subconjunto infinito de $E$ tiene un punto límite en $E$ .
La parte de la prueba que me pregunto se refiere a demostrar que (3) implica que $E$ está cerrado. La prueba se establece demostrando el contrapositivo.
Prueba Si $E$ no está cerrado, entonces hay un punto $\mathbf{x_{0}}\in R^{k}$ que es un punto límite de $E$ pero no un punto de $E$ . Para $n=1,2,3,...,$ hay puntos $\mathbf{x_{n}}\in E$ tal que $|\mathbf{x_{n}} - \mathbf{x_{0}}| < 1/n$ . Sea $S$ sea el conjunto de los puntos $\mathbf{x_{n}}$ .
La prueba continúa, pero la parte que me pregunto es la última, a saber, "que $S$ sea el conjunto de puntos $\mathbf{x_{n}}$ ." Entiendo que porque $\mathbf{x_{0}}$ es un punto límite, deben existir tales puntos para todo $n$ . Sin embargo, ¿basta con saber que esos puntos existen para formar un conjunto formado por ellos? Para cada $n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ deben existir infinitos puntos así, ya que $\mathbf{x_{0}}$ hay un punto límite, ¿no? Y si es así (puesto que tales puntos no son únicos), si queremos formar el conjunto $S$ descrito anteriormente, ¿no debemos especificar algún procedimiento que describa estos puntos para cada $n$ o apelar al axioma de elección (¿contable?) para elegir un punto de este tipo por cada $n$ ?
Desgraciadamente, mi profesor ha considerado que la teoría de conjuntos es "aburrida" cada vez que he intentado hablar con él sobre el uso potencial del axioma de elección. Muchas gracias de antemano a cualquiera que se haya tomado la molestia de leer este post. Cualquier respuesta es muy apreciada.
