Confusión sobre la diferenciación implícita $\frac{dy}{dx}$

Question

Hoy he aprendido sobre la diferenciación implícita utilizando esto:

$\frac{d}{dx}(f)$ = $\frac{df}{dy} \times \frac{dy}{dx}$

No entiendo al hacer la diferenciación implícita cómo funciona la parte d/dy para los términos y:

$\frac{d(y^2)}{dx} = \frac{d(y^2)}{dy}\times\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$

¿Por qué la derivada de $y^2$ con respecto a $y$ , $2y$ ? ¿Supones que es una función de algo más? Y del mismo modo si aplicas esta misma fórmula a un $x$ (aunque no sea necesario):

$\frac{d(x^2)}{dx} =\frac{d(x^2)}{dy}\times\frac{dy}{dx}$

¿Cómo se simplifica eso a la $2x$ Sé que lo es

Gracias

Answer 1

Usted utiliza implícitamente la fórmula de derivada de una función compuesta o una regla de cadena: $$ f = y(x)^2, \qquad\frac{df}{dx}=\frac{d(y^2)}{dx},\\ f=g(y(x)),\qquad g(y)=y^2,\\ \frac{d}{dx}g(y(x))=\frac{dg(y(x))}{dy}\frac{dy(x)}{dx}=(2y(x))\frac{dy}{dx} $$

Answer 2

Sí, aquí asumen que $y$ es función de otra cosa.

Siempre que apliquemos la diferenciación implícita como con $\frac{dy^2(x)}{dx}$ primero olvidamos que es una función de otra cosa, digamos $x$ Si no es así, lo deducimos utilizando la regla de la cadena y luego tenemos que corregirlo mediante el conocido factor adicional:

$$ \frac{d y^2(x)}{d x} =2 y(x) \cdot\frac{d y(x) }{dx}$$

En realidad, la diferenciación implícita a menudo se reduce a utilizar la regla de la cadena. Observa que si $y$ no es función de $x$ obtenemos que $\frac{ d y}{dx} =0$ y la ecuación es la siguiente $0=0$ .

Para su segundo caso en el que afirma: $$\frac{d(x^2)}{dx} =\frac{d(x^2)}{dy}\times\frac{dy}{dx}$$ Podríamos llamar $y=x^2$ porque realmente necesitas decirle al lector qué es esta nueva variable $y$ está en relación con la antigua variable $x$ de lo contrario, el derivado podría ser cualquier cosa. Entonces obtenemos: $$ \frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dy}\times\frac{d x^2 }{dx}= 1 \cdot 2x $$

En general utilizamos la diferenciación implícita cuando existe alguna dependencia variable complicada y no se puede expresar directamente alguna variable explícitamente en función del otro. Un ejemplo de ecuación sería: $$t+ t^2 + 3z^2 + z^3 = 6$$ Utilizando la diferenciación implícita podríamos construir la recta tangente para $(t,z)=(1,1)$ derivaremos ambos lados con respecto a $t$ no sabemos si $z$ es función de $t$ así que tenemos que usar la regla de la cadena.

Lo conseguiríamos: $$1+ 2t + 6z \frac{dz}{dt} + 3 z^2 \frac{dz}{dt} = 0$$ Ahora introducimos el valor en (1,1) para obtener: $$1+ 2 + 6 \frac{dz}{dt} + 3 \frac{dz}{dt} = 0$$ O después de reorganizar: $$9 \frac{dz}{dt} = -3 \rightarrow \frac{dz}{dt}= -\frac{1}{3}$$ Obtenemos la recta tangente $z= -\frac{1}{3}(t-1) +1$

Answer 3

La derivada de $y^2$ con respecto a $y$ es $2y$ debido a la definición de derivada: $$\lim_{h \to 0} \frac{(y+h)^2-y^2}{h} = 2y.$$

En la última expresión se escribe $$\frac{d(x^2)}{dx} = \frac{d(x^2)}{dy}\frac{dy}{dx}$$ pero esto sólo tiene sentido cuando $x$ es función de $y$ . Así que asuma $x = f(y)$ . Entonces, por la primera ecuación que mencionas en la pregunta, el lado derecho es $$\frac{d(f^2)}{dy}\frac{dy}{dx} = 2f(y)f'(y)\frac{dy}{dx} = 2xf'(y)\frac{dy}{dx} = 2x\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx} = 2x\frac{dx}{dx} = 2x.$$