La serie de Taylor y su relación con el seno

Question

Hace poco leí una de las obras literarias más inspiradoras que he visto, El lamento de Lockhart. Y ahora me encuentro constantemente haciendo matemáticas por diversión en mi cabeza con formas perfectas imaginarias. Uno de esos rompecabezas me hizo pensar... (Nota al margen: muy agradecido a SE math por permitirme descubrir la joya literaria).

¿Cuál es la relación entre el seno y la serie de Taylor? I leer que la mayoría de los programas utilizan la serie de Taylor como base de sus algoritmos para calcular el seno.

El enlace y la información parecen legítimos, incluso tiene un bonito gráfico que muestra las similitudes entre ambas funciones.

También leí esto chisme que sugiere algo aparentemente muy distinto. ¿Cuál es la relación entre las dos cosas que están pasando aquí, y ya que estamos en ello, ¿cuál es la función real de seno, ya que la serie de Taylor sólo se aproxima a ella.

(Nota adicional: puntos extra por mi dedicación a las matemáticas, escribí esto en mi móvil).

Pregunta extra: las etiquetas sugieren expansión de Taylor y no serie de Taylor, ¿hay algún matiz en la diferencia o es sólo un bonito artefacto del idioma inglés?

Answer 1

La serie de Taylor no es una aproximación del seno. Decimos que $$ \sin(x)=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5-\cdots $$ con la misma justificación con la que decimos $$ \pi=3.1415926535897\dots $$ La clave está en la elipsis, en la parte que omitimos. Si se interrumpe la representación (en el tercer término o $14^{th}$ decimal), lo que tienes es simplemente una aproximación. Sin embargo, tomados en su conjunto, los lados izquierdo y derecho de la ecuación producen lo mismo.

Ahora, pi sólo el número igual a $ 3.1415926535897\dots $ ? Sí, esto es algo que resulta ser cierto para pi, pero lo que hace que pi sea pi es su definición como el cociente entre la circunferencia y el diámetro.

Del mismo modo, el $\sin(x)$ se define como la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo $x$ en radianes. Sin embargo, $\sin(x)$ es igual a su serie de Taylor.

Y sí, las series de Taylor y la expansión de Taylor significan lo mismo en la mayoría de las situaciones, aunque la expansión se utiliza a veces para referirse a la aproximación finita.