Número de soluciones naturales para $x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 72$

Question

¿Qué soluciones naturales existen para $$x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 72$$ donde $x_1 \ge 2, x_2, x_3 \ge 1, x_4, x_5 \ge 0$ ?

Entiendo cómo hacerlo si no fuera " $2x_4$ "por lo que si el coeficiente de $x_4$ fue $1$ , , entonces la respuesta será $C(72,4) \ldots \ $ pero dado $2x_4$ No sé cómo resolver la cuestión.

Answer 1

Mover $2x_4$ al otro lado y resolver un $4$ -para cada valor posible de $x_4$ . En otras palabras, estás contando soluciones no negativas de

$$x_1+x_2+x_3+x_5=68-2k$$

para $k=0,\ldots,34$ y se obtiene

$$\sum_{k=0}^{34}\binom{71-2k}3=\sum_{k=1}^{35}\binom{2k+1}3\;.$$

En realidad no es tan desagradable como parece. Si calculamos los primeros valores de $$a_n=\sum_{k=1}^n\binom{2k+1}3\;,$$ obtenemos $a_1=1$ , $a_2=10$ , $a_3=35$ y $a_4=84$ con las primeras diferencias $9$ , $25$ y $49$ . Eso sugiere que estamos ante sumas de cuadrados Impares, es decir, que

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}\binom{2k}3&=\sum_{k=1}^n(2k-1)^2\\ &=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1\\ &=\frac23n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n\\ &=\frac13n(4n^2-1)\;. \end{align*}$$

Esto se puede demostrar directamente por inducción en $n$ .

Answer 2

EDITAR: Gracias @Brian M. Scott por iluminarme. Estaba confundiendo dos cosas diferentes.

En primer lugar, las diferentes condiciones

$$x_1 \ge 2; x_2, x_3 \ge 1; x_4, x_5 \ge 0$$

son bastante inconvenientes. Cambiemos el problema por encontrar las soluciones de

$$y_1 + y_2 + y_3 + 2y_4 + y_5 = 68$$ con $y_i \ge 0\ \forall_{i \le 5}$

Donde restamos 2 de $x_1$ y restamos 1 a cada $x_2$ et $x_3$ . Pero es que además es bastante inconveniente tener el factor 2 en medio de la expresión. Movámoslo al principio. Renombrando las variables, queremos resolver

$$2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 68, x_i \ge 0$$

¿Verdad? Si fijas el valor de $x_1 = 2k$ entonces se quiere resolver

$$x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 68 - 2k, x_i \ge 0$$

¿verdad? Pero es un problema fácil de resolver. Dado que el número de soluciones de esa ecuación viene dado por $C(68 - 2k, 4)$ su respuesta es simplemente la suma de todos los valores de $68 - 2k$ :

$$\sum_{i = 0}^{34} C(68 - 2k, 4)$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$ \bbx{\ds{\mbox{This answer provides a}\ \underline{numerical}\ \mbox{result}:\ \color{#f00}{528,990}}} $$

¿Cuál es el número de soles enteros \begin{equation} x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} + x_{5} = 72\ ?\quad\mbox{where}\quad x_{1} \geq 2\,;\quad\ x_{2}\,,\ x_{3} \geq 1\,;\quad\ x_{4}\,,\ x_{5} \geq 0 \label{1}\tag{1} \end{equation}

Esto viene dado por \begin{align} &\sum_{x_{1} = 2}^{\infty}\ \sum_{x_{2} = 1}^{\infty}\ \sum_{x_{3} = 1}^{\infty}\ \sum_{x_{4} = 0}^{\infty}\ \sum_{x_{5} = 0}^{\infty} \bracks{x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} + x_{5} = 72} \\[5mm] = &\ \sum_{x_{1} = 0}^{\infty}\ \sum_{x_{2} = 0}^{\infty}\ \sum_{x_{3} = 0}^{\infty}\ \sum_{x_{4} = 0}^{\infty}\ \sum_{x_{5} = 0}^{\infty} \bracks{x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} + x_{5} = 68} = \bracks{z^{68}}\bracks{1 \over \pars{1 - z}^{5}\pars{1 + z}} \\[5mm] = &\ \bbox[#ffe,15px,border:2px dotted navy]{\ds{528,990}} \end{align}