Descomposición de ciclos mayores como producto de ciclos menores

Question

Diga en $S_4$ Quiero escribir $(1,2,3,4)$ como producto de 3 ciclos? ¿Cómo debo hacerlo? En general, ¿cómo se descomponen los ciclos más grandes como producto de ciclos más pequeños (pero todos con la misma longitud de ciclo)?

Answer 1

No se puede: los triciclos pertenecen al subgrupo $A_4$ que consiste en incluso permutaciones (es decir, permutaciones que pueden escribirse como producto de un número par de transposiciones), pero $(1,2,3,4)$ es una permutación impar.

Answer 2

La paridad es un factor restrictivo, véase la entrada de wikipedia . Todos los 3 ciclos son pares (la longitud es impar) y $(1,2,3,4)$ es impar, y cualquier producto de permutaciones pares será par... Así que mejor pregunta: ¿podemos escribir cualquier ciclo impar como producto de 3 ciclos? Trivialmente sí en $S_4$ pero ¿qué pasa con $S_n$ ?

[editar] Resulta que $A_n$ está efectivamente generado por 3 ciclos, lo que se deduce de $(a,b)(c,d) = (a, c, d)(a, b, d)$ e identidades similares, por lo que podemos sustituir cualquier par de transposiciones por un 3-ciclo o 2 3-ciclos. Esto da una receta para 3-ciclos, que funciona para todas las permutaciones pares.