Si $x$ et $y$ son números reales positivos, ¿es cierto que $x< y \Leftrightarrow x^{n}<y^{n}$ para cada número natural $n$ ?

Question

Intento demostrar lo siguiente:

'"Si $x$ et $y$ son números reales positivos, entonces $x< y \Leftrightarrow x^{n}<y^{n}$ para cada número natural $n$ "

La dirección hacia delante me ha parecido fácil de demostrar con inducción, pero no sé cómo demostrar la dirección hacia atrás.

Answer 1

Pista:

Demuestre el contrapositivo: si $x\ge y$ entonces $x^n\ge y^n$ .

Variante :

Se pueden demostrar ambas cosas de una sola vez, sin inducción, observando que equivale a demostrar que, para un número positivo $u$ , $u>1\iff u^n>1$ .

En efecto, set $\dfrac yx=u$ y utilizar la identidad algebraica $$u^n-1=(u-1)(u^{n-1}+\dots+u+1).$$

Answer 2

Demuestra y utiliza el siguiente lema.

Si $a>b>0$ et $c>d>0$ entonces $ac>bd$ .

Answer 3

En caso de que sepa que $x\mapsto x^n$ es inyectiva y continua en $(0,\infty)$ se puede utilizar el hecho bien conocido de que las funciones continuas inyectivas definidas en un intervalo son estrictamente monótonas.