Dado $y''' - 5y'' - y' + 5y = 3e^{-x}$ encontrar la solución general.
He encontrado que las raíces de la solución homogénea son 5, 1 y -1:
$$(r - 5)(r + 1)(r - 1)=0$$
$$y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + c_3e^{5x}$$
Configuración de la solución particular, tengo:
$$g(x) = 3e^{-x}$$
$$y_p(x) = Axe^{-x}$$
$$y_p'(x) = Ae^{-x} - Axe^{-x} = A(1 - x)e^{-x}$$
Sé que tengo que utilizar la regla del producto para seguir diferenciando $y'$ pero, ¿existe algún método más sencillo para hacerlo?
Cómo diferenciar $y'$ utilizando la regla del producto? $y''=A(1-x)'e^{-x}+A(1-x)(e^{-x})'$ etc.
Es más fácil (OMI) utilizar el método del aniquilador [1] que dice:
Si su ODE es $L[y]=f(x)$ donde $f(x)=P_k(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ o $f(x)=P_k(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ (donde $P_k(x)$ es un polinomio y: $k$ , $\alpha$ , $\beta$ puede ser $0$ para deshacerse de uno de estos elementos).
Aplica el siguiente operador diferencial en ambos lados: $((D-\alpha)^2+\beta^2)^{k+1}$ . Aplicando esto en el lado derecho se obtendrá un cero.
El resultado será $y=y_h+y_p$ . Como ya has encontrado $y_h$ puede identificar $y_p$ .
Resuelve la ecuación original para $y_p$ para encontrar los coeficientes constantes.
Existe una forma de obtener directamente la solución completa. Ayuda que todas nuestras raíces sean reales. Hay una manera de "factorizar" el lado izquierdo como un polinomio. Este método intenta obtener la ecuación en la forma
$$z'+az=f(x)$$
que puede resolverse mediante el uso de un factor integrador.
Ya sabes que el polinomio característico es $(r-5)(r+1)(r-1)$ que reescribiré como $(r-5)(r^2-1)$ . Ahora dejemos que $z=y''-y$ que como verás tiene el polinomio característico $r^2-1$ . Ahora se puede reescribir la ecuación original.
$$y'''-y'-5y''+5y=(y''-y)'-5(y''-y)=z'-5z=3e^{-x}$$
Observarás que el polinomio característico de esta ecuación en $z$ corresponde al otro factor $r-5$ . Por supuesto, esto se resuelve multiplicando por el factor integrador $e^{-5x}$
$$e^{-5x}z'-5e^{-5x}z=(e^{-5x}z)'=3e^{-6x}$$ $$e^{-5x}z=-\frac12e^{-6x}+k_1$$ $$z=-\frac12e^{-x}+k_1e^{-5x}$$
Mientras no pongamos nuestra ecuación en la forma
$$u'+u=f(x)$$
el $e^{-x}$ no se anulará antes de la integración e introducirá un $xe^{-x}$ lo que complicaría la integración posterior. Así que ahora tenemos
$$z=y''-y=-\frac12e^{-x}+k_1e^{-5x}$$
De nuevo, elegimos una sustitución basada en un factor del polinomio característico. Para evitar el problema antes mencionado, hacemos la sustitución $u=y'+y$ . El resultado es
$$y''-y=(y'+y)'-(y'+y)=u'-u=-\frac12e^{-x}+k_1e^{-5x}$$ $$e^{-x}u'-e^{-x}u=(e^{-x}u)'=-\frac12e^{-2x}+k_1e^{-6x}$$ $$e^{-x}u=\frac14e^{-2x}+k_2e^{-6x}+k_3,k_2=-\frac{k_1}6$$ $$u=y'+y=\frac14e^{-x}+k_2e^{-5x}+k_3e^x$$
Y finalmente podemos resolver para $y$ .
$$e^xy'+e^xy=(e^xy)'=\frac14+k_2e^{-4x}+k_3e^{2x}$$ $$e^xy=\frac14x+k_4e^{-4x}+k_5e^{2x}+k_6$$ $$y=\frac14xe^{-x}+k_4e^{-5x}+k_5e^x+k_6e^{-x}$$
He aquí un método más sencillo (sólo daré una receta, pero puede justificarse fácilmente).
Tienes el polinomio característico, en tu caso es $$ p(r)=r^3-5r^2-r+5 $$ Tienes que encontrar tu solución particular al problema con el lado derecho $3e^{-x}$ y sabes que $-1$ es una raíz del polinomio característico (multiplicidad 1). Una solución particular tendrá la forma $$ y_p(x)=\frac{3xe^{-x}}{p'(-1)}=\frac{1}{4}xe^{-x}. $$
Añadido: Si necesita encontrar una solución particular al problema con el lado derecho de la forma $Ae^{ax}$ y sabes que $a$ no es una raíz del polinomio característico, entonces se puede tomar una solución particular como $$ y_p=\frac{Ae^{ax}}{p(a)}, $$ no hay necesidad de ningún derivado.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
