Prueba $\exp(x)\exp(y)=\exp(y)\exp(x)$ si $[x,y]=0$ .

Question

Cómo demostrar la siguiente afirmación

Demostrar que $\exp(x)\exp(y)=\exp(y)\exp(x)$ si $x,y\in \mathfrak{g}$ y $[x,y]=0$ .

utilizando los siguientes resultados:

1. $\mathrm{ad} (x)\cdot y=[x,y]$ ;
2. $\mathrm{Ad} (\exp(x))=\exp(\mathrm{ad}x)$ .

donde $\mathrm{Ad}:G\rightarrow \mathrm{Gl}(\mathfrak{g})$ y $\mathrm{ad}:=\mathrm{Ad}_{\ast}:~\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ .

(Sin utilizar la fórmula Campbell-Hausdorff...)

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Intento:

Si $[x,y]=0$ entonces $\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)=\mathrm{ad}(y)\mathrm{ad}(x)$ .

Además, tenemos $\mathrm{Ad}(\exp(xy))=1$ . Pero no puedo avanzar.

Answer 1

Utilizo $e^x = \exp(x)$ . Tenga en cuenta que

$$e^x e^y = e^y e^x$$

es lo mismo que $c(e^y)(e^x) = e^x$ donde $c(g) : G \to G$ es la conjugación $c(g) h = g^{-1} hg$ . Obsérvese que, por definición $Ad(g) = c(g)_* :\mathfrak g \to \mathfrak g$ .

Nota de (1) y (2)

\begin{equation} \begin{split} Ad(e^y) (x) &= \operatorname{Exp}(ad (y)) (x)\\ &= x + ad(y)x + \frac{1}{2} ad(y)^2 x + \frac{1}{3!} ad(y)^3 x + \cdots \\ &= x \end{split} \end{equation}

desde $ad(y) x = 0$ .

Escriba a $g = e^y$ . En $Ad(g) x = x$ queremos integrar para decir que $g^{-1} e^x g = e^x$ . Considere

$$\gamma(t) = g^{-1} e^{tx} g,$$

Obsérvese que por definición de $Ad$ , $\gamma'(0) = Ad(g)x = x$ .

También $\gamma(0) = e_G$ y $\gamma(t_1+ t_2) = \gamma(t_1)\gamma(t_2)$ . En particular, $$\gamma'(t) = \gamma(t)_* \gamma'(0) = \gamma(t)_* x.$$ Así $\gamma(t)$ y $e^{tx}$ son ambas la curva integral de los campos vectoriales $X (g)= g_* x$ (sólo los campos vectoriales invariantes a la izquierda definidos por $x\in \mathfrak g$ ) que parten de la identidad $e_G$ . Así $$ \gamma(t) = g^{-1} e^{tx} g = e^{tx}$$

para todos $t$ y en particular $g, e^x$ desplazamientos.