¿Por qué estas dos formas de entender la aceleración constante dan resultados diferentes?

Question

Tengo una pregunta relacionada con el concepto de aceleración y su fórmula - Ambos parecen darme respuestas diferentes.

me preguntaron:

Un tren se desplaza a una velocidad de $20\ \mathrm{m/s}$ . Golpea los frenos y empieza a desacelerar a la velocidad de $8\ \mathrm{m/s^2}$ . ¿Cuánto tiempo recorre antes de detenerse?

• $a=-8\ \mathrm{m/s^2}$

• $u=20\ \mathrm{m/s}$

• $v=0$

• $s=?$ (Se pide desplazamiento)

Según la fórmula de $s= \frac{(v^2-u^2)} {2a}$ La respuesta que obtuve fue 25 metros.

¡PERO!

Mi concepto de aceleración me explica esto :

Según mi intuición de la aceleración y la velocidad, cuando se dice que un objeto está acelerando a $-8\ \mathrm{m/s^2}$ significa que con cada segundo que pase, su velocidad se reducirá. $8\ \mathrm{m/s}$ . Así que..,

• En el 1er segundo - Velocidad = $20\ \mathrm{m/s}$ - Viajará 20 metros.

• En el 2º segundo - $v = 20\ \mathrm{m/s}-8\ \mathrm{m/s}=12\ \mathrm{m/s}$ - El tren recorre 12 metros

• A la tercera, recorre 4 metros.

• En la 4ª, se detiene.

Así que el total es 20+12+4 = 36 metros. Recorre 36 metros antes de detenerse.

En qué me estoy equivocando en mi comprensión conceptual, ¡realmente no lo entiendo!

Answer 1

Tu error está en suponer que dentro de esos intervalos de un segundo la velocidad es constante. La velocidad en función del tiempo $v(t)$ para el movimiento bajo aceleración constante $a$ viene dada por $$v(t)=at+v_0$$ donde $v_0$ es la velocidad a $t=0$ .

Por lo tanto, tiene razón en que $v(0)=20\,\mathrm{m/s}$ , $v(1)=12\,\mathrm{m/s}$ y $v(2)=4\,\mathrm{m/s}$ . Pero, por ejemplo, tenemos $v(1.5)=8\,\mathrm{m/s}$ y así sucesivamente para cualquier valor de $t$ hasta llegar al descanso. La velocidad disminuye continuamente. No disminuye de la forma escalonada que propones.

Sin embargo, en realidad vas por buen camino. Si quisieras llevar tu planteamiento al extremo correcto, romperíamos nuestro tiempo, no en $1\,\mathrm s$ sino en intervalos de tiempo realmente pequeños $\text dt$ de forma que la velocidad pueda considerarse constante. Entonces podemos sumar todos los cambios de posición $\text d x=v\,\text dt$ . Aquí es donde el cálculo se vuelve útil, y obtenemos una ecuación con la que probablemente estés familiarizado $$\Delta x=\int_{x_0}^x\text dx=\int_0^tv(\tau)\,\text d\tau=\frac12at^2+v_0t$$

Combinando esto con nuestra expresión para $v(t)$ eliminar $t$ nos da la expresión que da su primer método correcto.

Answer 2

Creo que una buena forma de poner de manifiesto el error en tu respuesta "concepto de aceleración" es dibujar una gráfica de velocidad frente a tiempo y recordar que el área bajo dicha gráfica es el desplazamiento.

Verás que en el primer segundo la velocidad está cambiando y para obtener el desplazamiento necesitas utilizar la función media velocidad durante ese intervalo de tiempo que es la ecuación cinemática de aceleración constante $s = \left (\dfrac{v+u}{2}\right)\,t$ .

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Si se supone una velocidad constante durante un intervalo de tiempo dado y luego un descenso a la siguiente velocidad constante durante el intervalo de tiempo subsiguiente se obtiene la siguiente serie de gráficos.

El resultado es que, a medida que aumenta el número de intervalos de velocidad constante, la distancia recorrida calculada (área bajo el gráfico) se aproxima a $25 \,\rm m$ .

De hecho, si el número de intervalos $N$ es incluso el área bajo el gráfico es $1.25\left (20+\dfrac 2 N \right) \rm m$ y como $N$ se hace cada vez mayor el término $\dfrac 2 N$ es cada vez más pequeño en comparación con $20$ de modo que en el límite de $N$ tendiendo a infinito el área bajo la gráfica tiende a $1.25 \times 20 = 25\,\rm m$ .

Answer 3

Aaron Stevens tiene razón, pero quizá pueda aclarar su explicación.

Considera el primer segundo. Al principio, la velocidad es efectivamente de 20 m/s, y al final es de 12 m/s, como has escrito correctamente. Pero, ¿qué distancia se ha recorrido durante este primer segundo?

Dado que la aceleración era constante, el media era la media, (20+12)/2 m/s, es decir, 16 m/s. Por tanto, la distancia recorrida durante el primer segundo fue de 16 metros.

Se le permite simplemente tomar el promedio entre el principio y el final de ese primer segundo porque las aceleraciones es constante . Si la aceleración no hubiera sido constante el problema habría sido diferente, más complicado, habría que describir con precisión cómo varía la aceleración con el tiempo. Pero este es un problema sencillo, aceleración constante, y basta con tomar la media de la velocidad al principio y al final de cada segundo.

Durante el segundo siguiente, la velocidad media fue de (12+4)/2 m/s = 8 m/s y la distancia recorrida fue de 8 metros.

Consideremos ahora el tercer segundo. Al principio, la velocidad es de 4 m/s. La velocidad tardará sólo 1/2 segundo en llegar a 0, momento en el que el tren se detiene definitivamente. No sigue acelerando, ni acelera en la otra dirección. Eso sería un problema diferente, que llevaría a una solución diferente. En este caso se dice claramente que cuando el tren se detiene, el problema termina. O sea que no hay un tercer segundo completo, el proceso se detiene al final después de un total de 2 segundos y medio.

Considera este último medio segundo. Al principio la velocidad es de 4 m/s, y al final es cero. Por tanto, la media es de 2 m/s. Como la duración del movimiento es de sólo 1/2 segundo, la distancia recorrida durante esta última parte del movimiento es de sólo 1 metro. Así que 16 metros para el primer segundo, 8 metros para el siguiente y 1 metro para la última parte suman el resultado correcto de 25 metros.

Hay una forma más rápida de obtener el mismo resultado.

¿Cuánto tiempo se mantiene en movimiento el tren? Al principio la velocidad es de 20 m/s y la aceleración es de -8 m/s^2, por lo que tarda 20/8=2,5 segundos en pararse (justo lo que hemos obtenido antes, yendo paso a paso, un segundo más otro más la mitad del tercero).

¿Cuál es la velocidad media? Al principio 20 m/s y cero al final, por tanto 10 m/S de media.

Así que velocidad media 10 m/s durante 2,5 segundos, distancia recorrida 25 metros.

Para aclarar la noción de velocidad media, a petición del OP, daré más detalles. Estos detalles se dieron por primera vez en los comentarios. Los trasladé más adelante en este post a sugerencia de Aaron Stevens.

Considera el primer segundo. La aceleración es constante, -8m:s^2, por lo que la velocidad disminuye progresivamente de 20 a 12 metros por segundo. En tu razonamiento original suponías que el tren recorría 20 metros. Pero para eso la velocidad debería haber sido de 20 m/s durante todo el segundo, y descender a 12 justo al final, lo que no es el caso. La velocidad disminuye progresivamente de 20 m/s a 12 m/s. Si la disminución de velocidad, es decir la aceleración (negativa), hubiera sido todo menos constante el valor exacto de la distancia recorrida habría sido difícil de calcular.

Pero allí la velocidad disminuye a un ritmo constante. Consideremos el primer y el último milisegundo. Durante el primero la velocidad es prácticamente de 20 m/s, durante el último prácticamente ha alcanzado la velocidad final 12m/s. La distancia recorrida durante estos dos milisegundos es la milésima parte de (20+12)=32 metros. Tomemos ahora un milisegundo algún tiempo T (menos de medio segundo) después del comienzo. La velocidad es 20-8T porque la aceleración es -8m/s^2.

Consideremos el milisegundo que precede en T al final del primer segundo. La velocidad es 12+8T ya que llegará a 12 después del intervalo T con una aceleración de -8m/s^2. Así que la distancia recorrida durante esos dos milisegundos será (20-8T+12+8T)=32 milésimas de metro. Así que esta es la distancia recorrida durante cada par de milisegundos colocados simétricamente dentro del primer segundo.

Súmalos, recordando que cuando T llega a medio segundo ya has cubierto todo el primer segundo porque estás contando los milisegundos del primer medio segundo y los del segundo medio juntos, obtienes 500 veces 32 milésimas de segundo, así que 16 metros. Es como si hubieras recorrido el primer segundo con una velocidad que es la media entre 20 y 12 m/s. Este sólo funciona porque la aceleración es constante .

También podrías haber empezado por calcular cuánto duraría el proceso, 20 m/s dividido por el valor absoluto -8m^/s^2 de la aceleración negativa muestra que los trenes se detienen después de 2,5 segundos. Entonces consideremos el primer milisegundo a 20m/s y el último a velocidad extremadamente lenta, distancia recorrida una milésima de (20+0) metros, y los milisegundos acoplados en el tiempo T después del comienzo, velocidad 20-8T, y T antes del final, velocidad 8T, así que 20 milésimas de 20 metros para cada par. Pero ahora T se extiende hasta la mitad de la duración total del proceso, por tanto la mitad de 2,5 segundos. Siempre la suma de las velocidades extremas, multiplicada por la mitad de la duración, o equivalentemente, la duración completa por la MEDIA de la velocidad inicial y final del intervalo de tiempo. Pero una vez más SÓLO EN EL CASO DE ACELERACIÓN CONSTANTE, de lo contrario no funciona. -

Answer 4

Usted no entiende el hecho de que la velocidad no es la misma dentro de cada segundo. Es decir, la velocidad cambia en un periodo de tiempo muy pequeño, mucho menor que un segundo.

tu razonamiento implicaría que la velocidad permanece igual en la duración de un segundo, lo que no es el caso.

Consideraré que no entiendes cálculo, pero eso no es un problema, ¡siempre puedes aprender!

supongamos un cuerpo que se mueve con velocidad u aceleración a durante un tiempo t

tenemos v=u+at

podemos ver que la aceleracion actua y cambia la velocidad. no a cada segundo, pero si a cada instante! esto es particularmente fascinante! (imho)

para un pequeñísimo cambio en el tiempo (dt) podemos considerar una velocidad constante. esta velocidad cambia en cada intervalo. para ello necesitamos integrar (sumar todas las áreas bajo la curva v-t) para hallar el desplazamientomt

el tiempo podría ser fraccionario, pero la aceleración se mide en m/s/s esto se hace para mantener todo en las unidades preferidas.

personalmente me encanta el video de 3b1b. puedes intuir mucho mejor viendo los videos de 3blue1brown sobre cálculo. enlace: https://www.youtube.com/watch?v=rfG8ce4nNh0&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=8

Answer 5

Tu respuesta es errónea porque tu suposición es errónea, por qué

Se supone que la velocidad del tren es constante durante ese intervalo de tiempo concreto de 1 segundo es muy difícil saber exactamente la velocidad en fracciones de segundo . Se puede entender por el diagrama de la línea recta que tiene la pendiente negativa.

Para obtener el valor del desplazamiento debes escribir $a=vdv/ds$ . E integrarlo dentro de los límites de la velocidad.