¡¿Simetría de espejo mod p?! ... ¡¿Física mod p?!

Question

En su respuesta a esta pregunta Scott Carnahan menciona "simetría especular mod p". ¿Qué es eso?

Se pueden definir (algún tipo de) invariantes de Gromov-Witten para variedades sobre campos distintos de $\mathbb{C}$ . Además, otras cosas que surgen en la simetría especular, como la variación de la estructura de Hodge y las categorías derivadas de las láminas coherentes, también tienen sentido. (Aunque no puedo imaginar que sea posible hablar de categorías de Fukaya...) ¿Podemos formular algún tipo de enunciado sensato de simetría especular, similar, por ejemplo, al de Candelas-de la Ossa-Green-Parkes que relaciona los invariantes de Gromov-Witten de un triplete quíntico con la variación de la estructura de Hodge de la variedad especular, cuando las variedades están sobre algún campo distinto de $\mathbb{C}$ ? En particular, ¿podemos hacer algo parecido para campos de característica positiva?

Busqué en Google "aritmética de la simetría especular" y "simetría especular mod p", y encontré algunas cosas sobre la relación entre la aritmética de las variedades especulares, pero nada sobre los invariantes de Gromov-Witten. Sí encontré notas de las conferencias de Candelas a las que se refería Scott, pero no fui capaz de entender qué pasaba en ellas.

En términos más generales, hay muchos ejemplos de afirmaciones matemáticas sobre variedades algebraicas complejas que proceden de la física/teoría cuántica de campos/teoría de cuerdas. Algunas de estas afirmaciones (quizá con alguna modificación) pueden seguir teniendo sentido si sustituimos "variedad sobre $\mathbb{C}$ con "variedad sobre $k$ ", donde $k$ es un campo arbitrario, o un campo de característica positiva, o lo que sea. ¿Hay alguna afirmación de este tipo que se haya demostrado?

Edición: Estoy recibiendo algunas respuestas, y todas suenan muy interesantes, pero todavía tengo especial curiosidad por saber si alguien ha hecho algo con respecto a los invariantes de Gromov-Witten sobre campos distintos de $\mathbb{C}$ .

Answer 1

La respuesta más interesante que conozco a esta pregunta es el reciente trabajo de Albert Schwarz con Vadim Vologodsky, Ilya Shaprio y Maxim Kontsevich, en el que, por ejemplo, utilizan propiedades de la acción de Frobenius sobre la cohomología p-ádica para establecer propiedades del mapa espejo, véase, por ejemplo. aquí , aquí o aquí . En otra dirección interesante están los trabajos de Philip Candelas, Xenia de la Ossa y Fernando Rodríguez Villegas sobre las variedades de Calabi-Yau sobre campos finitos y "Teoría de Dwork para físicos". aquí , aquí y aquí .

Answer 2

Para números enteros fijos $g,n$ cualquier esquema proyectivo $X$ sobre un campo $k$ y un mapa lineal $\beta:\operatorname{Pic}(X)\to\mathbb Z$ el espacio $\overline{M}_{g,n}(X,\beta)$ de mapas estables está bien definida como una pila de Artin con estabilizador finito, sin importar la característica de $k$ . Incluso puede sustituir $k$ por $\mathbb Z$ si te gusta.

Ahora bien $X$ es un esquema proyectivo suave sobre $R=\mathbb Z[1/N]$ para algún número entero $N$ entonces $\overline{M}_{g,n}(X,\beta) \times_R \mathbb Z/p\mathbb Z$ es una pila de Deligne-Mumford para casi todos los primos $p$ . Para tales $p$ , $\overline{M}_{g,n}(X,\beta) \times_R \mathbb Z/p\mathbb Z$ tiene un ciclo fundamental virtual, y así se tienen invariantes de Gromov-Witten bien definidos. Esto es válido para todas las $p$ . Nada sobre $\mathbb C$ aquí, ese es mi punto, la construcción es puramente algebraica y muy general.

Es cuando dices "estructuras de Hodge" entonces es mejor que trabajes sobre $\mathbb C$ a menos que se refiera a $p$ -Estructuras de Hodge.

En cuanto a la simetría especular en la característica $p$ gran parte de ella carece de características. Por ejemplo, la simetría combinatoria en espejo de Batyrev para hipersuperficies de Calabi-Yau en variedades tóricas es simplemente la dualidad entre politopos reflexivos. Se puede hacer en cualquier característica, de hecho sobre $\mathbb Z$ si te gusta.

Answer 3

A mí me parece que la operación espejo al cambio del campo base es el cambio de coeficientes en la homología de Floer. Permítanme darles algunos ejemplos.

Para el caso en que $k$ es un campo cualquiera, tenemos el siguiente ejemplo: Tomemos $\mathbf{P}^2_k$ como nuestra variedad y su espejo $W: \left(\mathbf{C}^{\times}\right)^2 \rightarrow \mathbf{C}$ , $W(x,y) = 1 + x + y - 1/xy$ . Para la categoría Fukaya-Seidel de ciclos evanescentes de $W$ tomar los coeficientes en $k$ y olvídate de la ponderación por exponenciales de las áreas de los polígonos holomorfos. Entonces, la categoría derivada acotada de láminas coherentes sobre $\mathbf{P}^2_k$ es equivalente a la categoría derivada Fukaya-Seidel idempotente-completada de $W$ con coeficientes en $k$ . De hecho, el primer enunciado de este resultado por escrito, en la obra de Seidel Más sobre ciclos de fuga y mutación ( https://doi.org/10.1142/9789812799821_0012 ), establece $k = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ .

Para una superficie cuártica (Paul Seidel, Simetría homológica de espejo para la superficie cuártica publicado como https://doi.org/10.1090/memo/1116 ), sabemos que un lado de la simetría especular se cumple cuando $k$ es el campo racional de Novikov sobre $\mathbf{C}$ , $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ . Precisamente, tenemos una equivalencia entre la categoría de Fukaya derivada idempotente-completada de una superficie cuártica lisa sobre $\mathbf{C}$ con coeficientes en $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ y la categoría derivada acotada del espejo de una superficie cuártica lisa sobre $\Lambda_{\mathbf{Q}}$ . Aquí parece perfectamente plausible sustituir $\mathbf{C}$ por $k$ de nuevo. Sin embargo, hay una diferencia significativa con el ejemplo anterior. En $\mathbf{P}^2$ nunca tuvimos que preocuparnos por la convergencia de las series de potencias que definen los productos en la categoría de Fukaya gracias a la exactitud de todo lo que está a la vista. Pero, aquí se acaban muchas cuestiones importantes $\mathbf{C}$ y dependen de la convergencia. Así que lo más lógico sería tomar algo como un $p$ -campo ácido para $k$ .

El cambio de coeficientes puede no parecer muy atractivo y probablemente no tenga mucho que decir sobre los invariantes GW de variedades sobre campos finitos, pero puede, no obstante, proporcionar resultados interesantes. El primer caso a investigar: probar la simetría especular para una curva elíptica sobre a $p$ -campo ácido. Como primer paso, ¿se puede reproducir una afirmación como la de Polishchuk y Zaslow en Simetría especular categórica: La curva elíptica ( https://dx.doi.org/10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a9 )?

Caveat emptor: no tengo ni idea, pero creo que sería interesante averiguarlo.

Answer 4

Aunque no es una respuesta a su pregunta, estrictamente hablando, ha habido algo de "física mod p" en el pasado. En los años ochenta se trabajó sobre teoría de cuerdas p-ádica . Si lo buscas en google encontrarás varios artículos sobre el tema. Gente como Frampton y Volovich (padre) han trabajado en este tema. Incluso fuera del ámbito de la teoría de cuerdas, se han realizado algunos trabajos sobre física p-ádica, en los que se ha planteado seriamente la noción de las terminaciones no arquiméticas de los racionales, con el razonamiento (¡sin juego de palabras!) de que sólo somos capaces de medir racionales positivos en el laboratorio.

En términos más generales, el trabajo de Atiyah y Bott sobre la Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann donde rederivan usando métodos de teoría gauge un resultado anterior de Narasimhan y Seshadri sobre la topología del espacio de moduli de los haces holonomorfos sobre una superficie de Riemann, sugiere muy fuertemente -- ¡al menos a Atiyah! -- una relación muy estrecha entre la Física y la Aritmética, que aún está por dilucidar.

Answer 5

Hazewinkel cita la obra de Y.I. Manin "Reflexiones sobre la física aritmética" como "conjetura principal" en su "Teoremas de bondad" :

"A nivel fundamental, nuestro mundo no es real ni p-ádico; es adélico. Para algunas razones que reflejan la naturaleza física de nuestro tipo de materia viva (por ejemplo, el hecho de que estemos formados por partículas masivas), tendemos a proyectar la imagen adélica sobre su lado real. Podemos igualmente proyectarla espiritualmente sobre su lado no arquimédico y calcular aritméticamente las cosas más importantes."

y da ejemplos e infos bibl. (no copiados aquí): "Existen aplicaciones de esta idea a la medida de Polyakov (función de partición de Polyakov), la teoría de cuerdas, la teoría de Yang-Mills y mucho más. Añádase a esto que las versiones p-ádicas son a menudo más fáciles de manejar y uno encuentra una buena justificación para la disciplina de la física p-ádica."

Kazuya Kato escribe en sus conferencias sobre la teoría de Iwasawa: "Misteriosas propiedades de los valores zeta parecen decirnos (en un voz no tan alta) que nuestro universo tiene las mismas propiedades: El universo universo no se explica sólo por los números reales. Tiene propiedades p-ádicas tiene propiedades p-ádicas (como afirman algunos físicos) y está con objetos profundos que llamamos, para simplificar, la grúa, el tren galáctico, y la patria de los valores zeta. Nosotros podemos tener las mismas propiedades. ¿Existen significados físicos de los elementos zeta?".

Editar: A nuevo artículo en arxiv sobre "propiedades aritméticas de las teorías de campo". En particular, estudiamos la estructura de vacío de las teorías gauge supersimétricas como variedades algebraicas sobre campos de números de característica finita."