¿Teorema de Stokes para variedades con esquinas?

Question

Tal vez sea una pregunta elemental, pero no consigo encontrar la referencia adecuada. El sitio Teorema de Stokes nos dice que, para un $n+1$ -dimensional $M$ con límite $\partial M$ y cualquier diferenciable $n$ -forma $\omega$ en $M$ tenemos $\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega $ .

Pero el teorema de Stokes también es cierto, digamos, para un cono $M = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ \vert\ \ x^2 + y^2 = z^2, 0\leq z \leq 1 \}$ o un cuadrado en el plano, $M =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert\ 0 \leq x, y\leq 1 \}$ que no son colectores. Así que mis preguntas son:

1. ¿Son estos cono y cuadrado ejemplos de lo que creo que se llama "colector con esquinas"?
2. Si es así, ¿dónde puedo encontrar una referencia de una versión del teorema de Stokes para variedades con esquinas?
3. Si "colector con esquinas" no lo es, ¿cuál es el escenario apropiado (y una referencia) para un teorema de Stokes que incluya esos ejemplos?

Agradeceremos cualquier sugerencia.

EDIT: Como dar las gracias individualmente a cada uno sería demasiado largo, permítanme editar mi pregunta para agradecer todas sus respuestas. Muchas gracias a todos: He encontrado lo que buscaba y más.

Answer 1

La forma más general del teorema de Stokes que conozco se demuestra en el libro Ecuaciones diferenciales parciales 1. Foundations and Integral Representations de Friedrich Sauvigny.
El objetivo del libro es proporcionar una versión del teorema de la divergencia que se cumpla también en los casos en los que la frontera tenga ciertas singularidades (como has descrito: la frontera singular tiene que tener capacidad cero). Como precursor, también demuestran el teorema de Stokes (¡le atribuyen la demostración a E. Heinz!).
Tenga en cuenta que esto es mucho más general que los colectores con esquinas, ¡también abarca su cono!

Answer 2

El excelente libro de John Lee "Introduction to smooth manifolds" tiene un capítulo sobre las variedades con esquinas, en el que demuestra el teorema de Stokes para ellas.

Answer 3

Si busca una referencia en línea, puede consultar Apuntes del curso de Brian Conrad sobre geometría diferencial . Cerca de la parte inferior de esa página, puede encontrar el folleto con el teorema de Stokes para colectores con esquinas.

Answer 4

Triangular el colector $M$ para que $\partial M$ también está triangulada. A continuación se demuestra el teorema de Stokes para imágenes difeomorfas de un simplex estándar, como en "Variétées différentiables" de de Rham.

Answer 5

Podrías echar un vistazo al Cap. XXIII párrafo 6 del Análisis Real y Funcional de Lang titulado "Teorema de Stokes con singularidades". Creo que esta versión también sirve para el cono. Sin embargo, no lo he leído.