Un problema de la Teoría de Modelos de Chang y Keisler.

Question

Estoy intentando resolver el ejercicio 2.3.1 del libro de Chang-Keisler "Teoría de Modelos".

Si $\phi(x_1, \cdots, x_n)$ es una fórmula completa en una teoría $T$ con respecto a $x_1,\cdots, x_n$ entonces $\exists x_n \phi (x_1, \cdots, x_{n-1}, x_n)$ es una fórmula completa en $T$ con respecto a $x_1, \cdots, x_{n-1}$ .

Por fórmula completa entendemos que para toda fórmula $\psi(x_1,\cdots, x_n)$ tenemos exactamente una entre $T \vdash \phi \rightarrow \psi$ y $T \vdash \phi \rightarrow \neg \psi$ .

No tengo ni idea de cómo enfocar este problema. ¿Ayuda?

Answer 1

Sea $\psi(x_1,\ldots,x_{n-1})$ sea una fórmula. $\psi$ es trivialmente también una fórmula en $x_1,\ldots,x_n$ sin dependencia de $x_n$ que también denotaré por $\psi$ . Sea $\tilde{\phi}(x_1,\ldots,x_{n-1})=\exists x_n \phi(x_1,\ldots,x_n)$ .

Entonces tenemos $T\vdash\phi \to \psi$ o $T\vdash \phi \to \lnot \psi$ desde $\phi$ está completo. Supongamos que tenemos $T\vdash \phi \to\psi$ suponiendo que $\exists x_n \phi(x_1,\ldots,x_n)$ tenemos $\psi(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n)$ lo que equivale a $\psi(x_1,\ldots,x_{n-1})$ ya que $\psi$ no depende de $x_n$ . Así pues $T\vdash \phi \to \psi$ tenemos $T\vdash \tilde{\phi}\to \psi$ .

Simétricamente, si tenemos $T\vdash \phi\to\lnot\psi$ sabemos $T\vdash \tilde{\phi}\to \lnot\psi$ . Por lo tanto $T\vdash \tilde{\phi}\to \psi$ o $T\vdash \tilde{\phi}\to \lnot \psi$ . Por lo tanto $\tilde{\phi}$ está completo.