Pregunta sobre el teorema fundamental del cálculo para espacios de Banach

Question

Teorema fundamental del cálculo (para espacios de Banach): Sea $X$ sea un espacio de Banach y $v \in \mathcal{C}([a,b],X)$ (es decir, continua). Entonces $u(t):= \int_a^t{v(s) \,ds}$ es diferenciable en $[a,b]$ con $u'=v$ .

mi pregunta: ¿Cómo puedo seguir que $\int_a^b{u'(s) \, ds}=u(b)-u(a)$ para cada $u \in \mathcal{C}^1([a,b],X)$ ?

Para $X=\mathbb{R}$ está claro ya que todas las antiderivadas de $u$ sólo distinguir a través de una constante.

Answer 1

Esto es una consecuencia fácil del siguiente hecho: Si $w$ es una continua $X$ sobre $[a,b]$ y $F$ es una función lineal continua en $X$ entonces $F(\int_a^{b}w(t)dt)=\int_a^{b}F(w(t))dt$ .

Para demostrar su resultado sólo tenemos que demostrar que $F(\int_a^{b}u'(t)dt)=F(u(b)-F(u(a))$ y esto se desprende del hecho anterior y la FTC en el caso $X=\mathbb R$ .