¿Cambian los valores propios de una matriz después de multiplicarla por una matriz unitaria?

Question

Para una matriz $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ hace la multiplicación por una matriz unitaria $U$ cambian los valores propios de $A$ ? Así que para:

$$Ax = \lambda x \qquad \mathrm{and} \qquad AUy = \mu y $$

hace $\lambda = \mu$ ?

Sé que lo anterior es cierto para hacer la multiplicación izquierda y derecha por $U$ :

$$ UAU^*y = \mu y \\ AU^*y = \mu U^* y \\ Az = \mu z \\ \therefore \mu = \lambda$$

(definición $z = U^* y$ )

Bajo el pretexto de que las matrices unitarias son simplemente rotaciones, lógicamente tiene sentido para mí que $\mu$ y $\lambda$ deben ser idénticos, y sólo los vectores propios deben ser iguales. Esta afirmación es válida para los valores singulares (véase aquí ), pero me cuesta demostrarlo para los valores propios (si es que es cierto).

Editar

Después de un ejemplo rápido en python, entiendo que lo anterior es no cierto. Así que en su lugar: ¿dónde está mi proceso de pensamiento va mal con respecto a cómo matrices unitarias / rotaciones efecto valores propios?

Edición 2

Lo que realmente pretendía, pero no expresé correctamente, era eso:

$$AX = \Lambda X \qquad \mathrm{and} \qquad AUY = MY \\$$

tal que $ \lambda \in M, \forall \lambda \in \Lambda$ donde $M$ y $\Lambda$ son matrices diagonales.

Answer 1

Tu intuición es en cierto modo correcta, pero lo estás haciendo mal. Cuando te refieres a una rotación, ¿a qué se aplica? A los vectores, ¿no?

Por lo tanto, si $A$ es la matriz de un mapa lineal , esperamos que si rotamos los ejes, la matriz cambie, pero la aplicación sigue siendo la misma, por lo que los valores propios deberían ser los mismos. Comprobemos esto.

Sea $f$ sea un mapa lineal desde un $n$ -espacio vectorial dimensional $E$ en sí mismo, y $\mathcal B$ una base de $E$ . Sea $A$ la matriz de $f$ en esa base. Y que otra base $\mathcal B'$ con una matriz $P$ de cambio de base, que es regular. Es decir, si $v$ es un vector en $E$ con coordenadas $X\in\Bbb R^n$ en la base $\mathcal B$ entonces las coordenadas $X'$ en la base $\mathcal B'$ satisfacer (nótese el orden):

$$X=PX'$$

Ahora, en la nueva base, $f$ tiene otra representación matricial $A'$ que viene dado por

$$A'=P^{-1}AP$$

¿Cómo afecta a los vectores y valores propios? Sea $u$ un vector propio de $A$ para el valor propio $\lambda$ entonces $Au=\lambda u$ y, puesto que $A=PA'P^{-1}$

$$PA'P^{-1}u=\lambda u$$

Por lo tanto

$$A'P^{-1}u=P^{-1}\lambda u=\lambda P^{-1}u$$

Eso es, $\lambda$ es también un valor propio de $A$ para el vector propio $u'=P^{-1}u$ . Que podemos escribir $u=Pu'$ . Para el vector propio $u'$ simplemente aplicamos el cambio de base: es el mismo vector en $E$ sólo cambia su representación en una base.

Es decir, los vectores y valores propios de un mapa lineal no dependen de la base.

Tenga en cuenta que para ello no necesitamos $P$ ser unitario.