Encuentre $\dim\{ W \in \mathscr{L}(V) \ |\ WT =TW \}$ cuando $T = T^{-1}$

Question

Problema

Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $T \in \mathscr{L}(V) $ tal que $T = T^{-1}$ .

Supongamos que $S = \{ W \in \mathscr{L}(V) \ |\ WT =TW \}$ .

¿Cuál es la dimensión de $S$ (en términos de la dimensión de $V$ y el rastro de $T$ )?

Sé que $T$ es diagonalizable ya que $T^2-I = 0$ y el polinomio mínimo de $T$ es $(\lambda+1)(\lambda-1)$ que no tiene factores repetidos. ¿Esto ayuda a resolver el problema?

Answer 1

Su observación es realmente útil. Hasta un cambio de base (es decir, hasta la similitud matricial), podemos afirmar que $T$ es la matriz $$ T = \pmatrix{I_{k_1}&0\\0 & -I_{k_2}} $$ Dónde $I_k$ denota el $k \times k$ matriz de identidad, $k_1 = \dim \ker (T - I)$ y $k_2 = \dim \ker (T + I)$ . Por supuesto, $k_1 + k_2 = \dim V$ .

Ahora, divide la matriz $W$ en bloques del mismo tamaño. Observamos que $W$ conmuta con $T$ si y sólo si tiene la forma $$ W = \pmatrix{W_{11} & 0\\0 & W_{22}} $$ Concluir que $\dim(S) = k_1^2 + k_2^2$ .