La mejor manera de encontrar $\lim_{x\to 0}( \frac {\sin x}{x})^{\frac 1x}$

Question

$\lim_{x\to 0}( \frac {\sin(x)}{x})^{\frac 1x}$ $$$$

Puedo usar Tailor para llegar a $\lim_{x\to 0}(1+\epsilon(x))^\frac 1x$ $$$$ $ (\epsilon(x)\\bienconjunto{x\a\infty}\a 0) $ $$$$ pero ¿significa eso que el límite es igual a 1?

Answer 1

Si puede encontrar $$ L=\lim_{x\to0}\log\biggl(\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!1/x}\,\biggr)= \lim_{x\to0}\frac{\log\frac{\sin x}{x}}{x}, $$ donde $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ entonces ya está, porque su límite original será $e^L$ (o $0$ si $L=-\infty$ o $\infty$ si $L=\infty$ ).

Ahora el límite es sólo la derivada en $0$ de la función $\log f(x)$ donde $$ f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{if $x\ne0$}\\[6px] \;1 & \text{if $x=0$} \end{cases} $$ que admite la representación en serie de Taylor $$ f(x)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+ (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\dotsb $$ que podemos deducir de la serie de Taylor para $\sin x$ . Por lo tanto, utilizando de nuevo el desarrollo de Taylor, $$ \lim_{x\to0}\frac{\log f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^2/6+o(x^2)}{x}=0 $$ y su límite original es $e^0=1$ .