La mejor manera de encontrar $\lim_{x\to 0}( \frac {\sin x}{x})^{\frac 1x}$

Question

$\lim_{x\to 0}( \frac {\sin(x)}{x})^{\frac 1x}$ $$$$

Puedo usar Tailor para llegar a $\lim_{x\to 0}(1+\epsilon(x))^\frac 1x$ $$$$ $ (\epsilon(x)\\bienconjunto{x\a\infty}\a 0) $ $$$$ pero ¿significa eso que el límite es igual a 1?

Answer 1

Lo que has hecho no es suficiente, ya que el exponente va a infinito a medida que lo que está entre paréntesis va a uno. ¡Tendremos que ser más listos! He aquí cómo abordar problemas como éste, con variables en el exponente.

Utilice el hecho de que $\ln(x)$ es continua. Dado que $\ln()$ es continua, lo que significa que podemos intercambiar $\ln()$ y $\lim()$ en cualquier problema: $$ \ln(\lim[f(x)]) = \lim(\ln[f(x)]) $$

En el caso particular de este problema, podemos decir

$$ \lim(\frac{\sin(x)}{x})^{1/x}=\exp\{\ln[\lim(\frac{\sin(x)}{x})^{1/x}]\} = \exp\{\lim[\ln(\frac{\sin(x)}{x})^{1/x}]\} $$ Entonces sólo tienes que averiguar $$ L=\lim_{x\rightarrow 0}(\ln[(\frac{\sin(x)}{x})^{1/x}]) $$ que se puede hacer simplemente mediante manipulaciones estándar de $\ln$ y la regla de l'Hopital. Entonces toma $\exp\{L\}$ ¡y esa es tu respuesta!

Nota: $\exp\{x\}=e^{x}$ Acabo de escribirlo como $\exp$ para facilitar su lectura.

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que $$ \cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}\le1 $$ Por lo tanto, $$ \cos(x)^{1/x}\le\left(\frac{\sin(x)}x\right)^{1/x}\le1 $$ Desde $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\cos(x)^{1/x^2} &=\lim_{x\to0}\left(1-2\sin^2(x/2)\right)^{1/x^2}\\ &=\lim_{x\to0}\left(1\color{#C00000}{-\frac{\sin^2(x/2)}{2(x/2)^2}}x^2\right)^{1/x^2}\\[3pt] &=e^{\color{#C00000}{-1/2}} \end{align} $$ tenemos $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\cos(x)^{1/x} &=\lim_{x\to0}e^{-x/2}\\ &=1 \end{align} $$ Por lo tanto, por el Teorema de Squeeze, $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(x)}x\right)^{1/x}=1 $$

Answer 3

"La mejor manera" es un poco vago. Si necesitas una respuesta que pueda escribirse en poco tiempo (por ejemplo, para una oposición), supongo que puedes escribir \begin{align} \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x} &= \lim_{x \to 0}\exp\left\{\frac{1}{x}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left\{\frac{1}{x}\log\left(\frac{1}{x}\left(x - \frac{x^{3}}{3!} + o(x^{3})\right)\right)\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left\{\frac{1}{x}\log\left(1 - \frac{x^{2}}{6} + o(x^{2})\right)\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left\{\frac{1}{x}\left(- \frac{x^{2}}{6} + o(x^{2})\right)\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left(-\frac{x}{6} + o(x)\right)\notag\\ &= \exp(0) = 1\notag \end{align} Obsérvese que los símbolos $o(x), o(x^{2}),\cdots$ debe utilizarse siempre al aplicar expansiones en serie de Taylor para la evaluación de límites.

Sin embargo, si necesita una respuesta que se centre más en los conceptos, puede proceder del siguiente modo. Sea $L$ sea el límite deseado y entonces \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x}\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\log\left\{1 + \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right)\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\left(\frac{\sin x}{x} - 1\right)\dfrac{\log\left\{1 + \left(\dfrac{\sin x}{x} - 1\right)\right\}}{\dfrac{\sin x}{x} - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{2}}\lim_{t \to 0}\frac{\log(1 + t)}{t}\text{ (putting }t = \frac{\sin x}{x} - 1)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{2}}\cdot 1\notag\\ &= 0\notag \end{align} Por lo tanto $L = e^{0} = 1$ . La evaluación de $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{2}}$$ se da aquí .

Answer 4

Vale, ya lo tengo:

cometió un error con el resto de Taylor

Sin(x) se traduce como (x + $x\epsilon(x))$ así que $$$$ $\lim_{x\to 0}(1+x\epsilon(x))^\frac 1x= \lim_{x\to 0}(1+\frac 1{\frac 1{x\epsilon(x)}})^\frac 1x$ =...= $e^0=1$

Answer 5

\begin{align} \lim_{x\to 0}( \frac {\sin(x)}{x})^{\frac 1x}&=\lim_{x\to 0}( \prod_{n=1}^{\infty}\Big(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\Big))^{\frac 1x}\\ &=\prod_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to 0} \Big(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\Big)^{\frac 1x}\\ &=\prod_{n=1}^{\infty}1=1 \end{align}