Ayuda necesaria para resolver una EDO

Question

Resolver: $\displaystyle \left [1+\left(\frac{dy}{dx} \right)^2\right]^{3/2}=a\frac{d^2y}{dx^2}$

Mi intento: Tome $\displaystyle \frac{dy}{dx}=p$

Ahora sí: $\displaystyle \left [1+p^2\right]^{3/2}=a\frac{dp}{dx}$

$\displaystyle \frac{dp}{\left (1+p^2\right)^{3/2}}=adx$

No aguanto $\displaystyle 1+p^2=t$ ya que no hay p en el numerador. ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Podemos escribir $$\int\frac{dp}{(1+p^2)^{\frac32}}=\frac{p}{(1+p^2)^{\frac12}}.$$ (Para ver esto, haga el cambio de variables $p=\tan t$ en la integral inicial).

Ahora queda por resolver $p$ la ecuación $^*$ $$\frac{p}{(1+p^2)^{\frac12}}=\frac{x-x_0}{a}\qquad \Longrightarrow\qquad p=\pm \frac{x-x_0}{\sqrt{a^2-(x-x_0)^2}},$$ e integrar: $$y(x)=\pm \int \frac{x-x_0}{\sqrt{a^2-(x-x_0)^2}}dx=\mp \sqrt{a^2-(x-x_0)^2}+C.$$

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$^*$ En su pregunta $a$ aparece incorrectamente en el numerador en lugar de en el denominador.