Diga $k$ es un número natural impar y $n$ es un número natural positivo y también decimos que $2^{n+2}$ $|$ $(k^{2^n}-1)(k^{2^n}+1)$ . También somos conscientes de que el $k^{2^n}+1$ no es divisible por $2^{n+2}$ . ¿Podemos deducir que $2^{n+2}$ $|$ $k^{2^n}-1$ ? Esta afirmación se utilizó en una prueba que vi, pero no puedo demostrarlo por mí mismo.
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Lissome
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Demasiado largo para un comentario:
(*)Si $2^{n+3}|(k^{2^n}-1)(k^{2^n}+1)$ la respuesta es obviamente sí: $(k^{2^n}-1), (k^{2^n}+1)$ son dos números pares consecutivos, uno tiene que ser divisible por $2$ pero no divisible por $4$ . Por lo tanto el otro es divisible por $2^{n+2}$ .
( )Si existe algún $k,n$ tal que $2^{n+2}|(k^{2^n}-1)(k^{2^n}+1)$ pero $2^{n+3} \nmid (k^{2^n}-1)(k^{2^n}+1)$ ** Entonces, la respuesta a tu pregunta es no, y ese ejemplo proporciona un contraejemplo.
Esto significa que su pregunta equivale a lo siguiente:
Pregunta Si $k$ es un número entero impar y $n$ es un número natural tal que $2^{n+2}|k^{2^{n+1}}-1$ ¿se deduce que $2^{n+3} | k^{2^{n+1}}-1$ ?
Sospecho que la respuesta es no, y que se puede encontrar un contraejemplo rápidamente con un ordenador, pero podría equivocarme.
P.D. Comprueba dos veces las competencias sobre lo que intentas demostrar, ¿estás seguro de que lo obvio que se afirmaba no era (*).
La pregunta está redactada de forma un tanto extraña, pero es cierto que $2^{n+2}\,|\,k^{2^n}-1$ (utilizando sus restricciones en $n,k$ ) Esto se debe a que el grupo multiplicativo de unidades $\pmod {2^{n+2}}$ no es cíclico para $n≥1$ (véase, por ejemplo este ). Así, cada impar $k$ tiene orden $2^m\pmod {2^{n+2}}$ donde $m≤n$ .
