Definición precisa de un régimen (Pregunta clave: Cómo definir un subfunctor abierto sin recurrir a la teoría clásica de esquemas)

Question

Especulaciones y antecedentes

Sea $\mathcal{C}:=CRing^{op}_{Zariski}$ el sitio afín de Zariski. Consideremos la categoría de las láminas, $Sh(\mathcal{C})$ .

Según nLab, los esquemas son aquellas laminillas que "tienen una cubierta por inmersiones Zariski-abiertas de esquemas afines en la categoría de pretramas sobre Aff".

En SGA 4.1.ii.5 Grothendieck define otra topología sobre $Sh(\mathcal{C})$ utilizando una "familles couvrantes", que son familias de morfismos $\{U_i \to X\}$ tal que el mapa inducido $\coprod U_i \to X$ es un epimorfismo. Además, da otra definición. Una familia de morfismos $\{U_i \to X\}$ se denomina "bicouvrante" si es una "famille couvrante" y el mapa $\coprod U_i \to \coprod U_i \times_X \coprod U_i$ es un epimorfismo. [Nota: Esto se da para un general categoría de poleas en un sitio, no poleas en nuestro sitio afín Zariski].

Especulaciones: Asumo que la definición de nLab significa que tenemos una familia (bi)cubriente de inmersiones abiertas de representables, pero tal y como están las cosas, no tenemos una definición suficientemente buena de una inmersión abierta, o equivalentemente, de un subfunctor abierto.

Parece que la noción de una familia bicovering es muy importante, porque esta es precisamente la condición que requerimos en los espacios algebraicos (si reemplazamos nuestros morfismos de cobertura con morfismos etale surjective de una manera inteligente y requerir que nuestra cubierta se compone de representables).

Preguntas

¿Qué significa precisamente "inmersión abierta" en lenguaje categórico? ¿Cómo definimos un esquema precisamente en nuestro lenguaje de poleas y topologías de Grothendieck? Preferiblemente, esta respuesta no debería depender de nuestro sitio base. La noción de inmersión abierta debe ser una noción que tengamos en cualquier categoría de láminas en cualquier sitio.

Eisenbud y Harris no consiguen responder a esta pregunta por la siguiente razón: se basan en la teoría clásica de esquemas para su definición de un subfunctor abierto (lo mismo que una inmersión abierta). Si queremos construir nuestra teoría de esquemas sin prerrequisitos lógicos, esto es circular.

Una vez que tenemos esta definición, ¿exigimos que nuestra familia de inmersiones abiertas sea una "familia de cobertura" o una "familia de bicobertura"?

Además, ¿cómo podemos exponer, en un lenguaje preciso de funtores de puntos, la definición de un espacio algebraico?

Esta última pregunta debería ser una consecuencia natural de las anteriores, siempre que se respondan con suficiente generalidad.

Answer 1

No sé si esto te satisfará, pero un mapa de esquemas es una inmersión abierta si y sólo si es un monomorfismo etale. Etale significa, por definición, formalmente etale y localmente de presentación finita, condiciones ambas que tienen formulaciones sencillas en términos de functores de puntos, de Anillos a Conjuntos. Del mismo modo, un mapa de esquemas es un monomorfismo si y sólo si el mapa de funtores subyacentes es un monomorfismo.

Answer 2

Consulte el artículo de Kontsevich-Rosenberg espacio no conmutativo. definieron formalmente la inmersión abierta y la inmersión abierta de manera completamente functorial. Esta definición no tiene nada que ver con "no conmutativo"

Definición: La inmersión formalmente abierta es un monomorfismo formalmente suave.

Pero una cosa hay que señalar, que están trabajando en Q-categoría que es una generalización de las topologías de Grothendieck (destino está tratando con la topología sin la propiedad de cambio de base). pero sólo hacer caso omiso de esta noción y el trabajo en la topología de Grothendieck habitual como desee

Answer 3

Me cuesta un poco descifrar cuál es exactamente tu pregunta, así que me limitaré a escribir algunas cosas sobre las poleas que parecen relacionadas y espero que sean útiles.

Supongamos que $C$ es un sitio. Deje que $\hat{C}$ sea su categoría de presheaves y $\tilde{C}$ su categoría de poleas. La topología definida en SGA 4, II.5 está en $\hat{C}$ no en $\tilde{C}$ como sugiere en su pregunta. Su propósito es dar una topología en $\hat{C}$ tal que la categoría de láminas sobre $\hat{C}$ (es decir, funtores contravariantes que satisfacen el descenso en la categoría de funtores contravariantes sobre $C$ ) debe coincidir con la categoría de las láminas sobre $C$ (es decir, $\tilde{\hat{C}} = \tilde{C}$ ).

Tienes la condición para ser bicovering al revés: un mapa de presheaves $H \rightarrow G$ se denomina bicubierta si es cubriente (con respecto a la topología sobre $C$ ) y su diagonal $H \rightarrow H \times_G H$ también está cubriendo. (Lo que significa que un mapa de láminas sea cubriente es que para cualquier mapa $X \rightarrow G$ con $X$ representable, el tamiz de $X$ inducida por $H \times_G X$ debería estar cubriendo).

Una topología de Grothendieck en $C$ se describe preguntando a determinados subfunctores (tamices) de objetos de $C$ que cubrir. Si $H$ es un subfunctor de $G$ entonces el mapa diagonal relativo es automáticamente un epimorfismo ya que es un isomorfismo (por definición). Los tamices de recubrimiento de $X$ son los subfunctores de $X$ que se convierten en isomorfas de $X$ al pasar a gavillas asociadas.

El asunto del bicovering surge cuando se quiere estudiar qué morfismos arbitrarios de los preensamblajes (no sólo inclusiones) se convierten en isomorfismos al pasar a los ensamblajes asociados. La noción de morfismo de cobertura de los preeslabones explica qué morfismos se convierten en suryecciones de las láminas. La pregunta es: ¿qué morfismos se convierten en inyecciones? Un mapa de láminas es una inyección si y sólo si su diagonal relativa es una suryección, por lo que la condición es que la diagonal relativa sea un mapa de cobertura.

Answer 4

Un morfismo de láminas $f: X \to Y$ en la topología fpqc en $Aff$ [las cubiertas son finito familias universalmente epimórficas $(Spec(R_i)\to Spec(R))_i$ en $Aff$ con cada morfismo $Spec(R_i)\to Spec(R)$ plana] es representable por inmersiones abiertas de esquemas si y sólo si:

1) para todos los regímenes locales $Spec(R)$ con punto cerrado $Spec(k)$ (en la categoría $Sh/Y$ ) el mapa natural $Hom_Y(Spec(R), X) \to Hom_Y(Spec(k), X)$ es biyectiva [o con la condición 3) a continuación, simplemente suryectiva].

2) se presenta localmente de forma finita (en el sentido teórico de la preforma).

3) es un monomorfismo.

Notas: a) Sólo las condiciones 1) y 2) son equivalentes a que el mapa sea representable por "isomorfismos locales de esquemas" por ejemplo el mapa $X \to \mathbf{A}^1$ donde $X$ es la línea afín con el doble original y el mapa sólo se pliega en el punto doble. Sin embargo, estos mapas "no son buenos" (es decir, no satisfacen el descenso fpqc).

b) Un esquema es una gavilla $X$ en la topología fpqc en $Aff$ tal que existe una cubierta (en la topología canónica sobre $Sh$ ) por esquemas afines $(Spec(R_i)\to X)_i$ con cada mapa $Spec(R_i)\to X$ cumpliendo las condiciones anteriores.

c) No lo he comprobado, pero estoy bastante seguro de que funcionará con las demás topologías naturales (fppf, etale, Zariski).

Answer 5

No estoy seguro de si esto es lo que buscas, pero cuando empecé a estudiar las topologías de Grothendieck pensé en ser una inmersión abierta como una propiedad topológica; de alguna manera debería ser posible recuperar todas las inmersiones abiertas a partir de la topología, y si cambiamos la topología por el sitio etalé, el mismo método debería darnos los mapas etalé como "inmersiones abiertas".

Por desgracia, dudo que esto sea posible (sería estupendo que lo fuera, así que, por favor, corríjanme si me equivoco). La razón por la que me dejé engañar para intentarlo, fue probablemente debido al sabor topológico del término abra inmersión. Pero al pasar a la topología de Grothendieck se pierde información sobre nuestro modelo de mapas de cobertura con el que empezamos. Por ejemplo, si {U_i -> U} es un recubrimiento, entonces una ganga F satisfaría la condición de ganga también para el conjunto {U_i -> U} U {A -> U}, siendo este último un morfismo arbitrario.

En cambio, creo que es más correcto pensar en la propiedad de ser una inmersión abierta como algo que sabemos lo que es en nuestra categoría base (esquemas afines) y queremos generalizar a nuestra nueva categoría más grande.

Dicho esto, debemos buscar la definición correcta de inmersión abierta en nuestra categoría base. Queremos que sea algo que sea el "complemento" de una inmersión cerrada. Sea F un subfunctor de spec A. Retrotrayéndolo a lo largo de spec A/I -> spec A debería darnos el esquema cero. Definamos ahora el complemento de spec A/I como el subfunctor F más general de spec A que satisface esto (es decir, tomemos el límite categórico). No he hecho los detalles, pero sospecho que esto da el concepto correcto y que una descripción concreta de cómo es el subfunctor sería como en el ejercicio VI.6 de E-H. Extenderlo a morfismos representables de gavillas (en cualquier topología razonable) es ahora sencillo usando pull-backs.