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Espacio cociente y conjunto cociente para $\mathrm{End}(\mathbb{R}^2)$

Sea $X = \left\lbrace \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\rbrace$ sea el conjunto de mapas lineales $\mathbb{R}^2$ sobre sí misma. La topología en ella viene dada por su obvia identificación con $\mathbb{R}^4$ . Relación de equivalencia: $A \sim B \iff A = LBL^{-1}$ donde $L$ es una matriz invertible. Se requiere describir el conjunto cociente $X/\!\sim$ y el espacio cociente. ¿Es este espacio cociente Hausdorff?

No puedo encontrar el espacio cociente aquí.

La condición no dice qué topología se define en $\mathbb{R}^4$ supongo que es estándar, espacio métrico $(x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (a,b,c,d)$ .

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dmay Puntos 415

No, el cociente no es Hausdorff. Consideremos la matriz nula. Es una clase en sí misma (es decir, la única matriz similar a la matriz nula es la propia matriz nula). Pero tan cerca como se quiera de la matriz nula se encontrará una matriz del tipo $\left(\begin{smallmatrix}0&\lambda\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ (with $\lambda\neq0$), which is similar to $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ . Así, en este espacio cociente la matriz nula y $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ son elementos distintos, pero toda vecindad del primero contiene al segundo.

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Emilio Novati Puntos 15832

Pista:

los posibles formas reales de Jordan de matrices en $M_2(\mathbb{R})$ son: $$ \begin{bmatrix}a&0\\ 0&b \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}a&1\\ 0&a \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}a&-b\\ b&a \end{bmatrix} $$ y:

dos matrices reales son similares si tienen la misma forma jordana real.

¿Puedes encontrar el espacio cociente a partir de esto?

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