Existe una ecuación algebraica como $ax^{2n-2}-bx^{2n-4}+c=0$ donde $a,b,c>0$ y $n$ es un número entero con $n\geq3$ . ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación o las propiedades de sus soluciones?
Respuestas
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Christoph Heindl
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Utilizamos un cambio de variables $y = x^2$ y $k = n-1$ . Entonces la ecuación se convierte en $ay^k - by^(k-1) + c = 0$ . Entonces $y = x^2$ Así que $x = \pm \sqrt{y}$ . No hay soluciones generales para esto en términos de $a,b,c,(k+1)$ Creo.
¿En qué tipo de propiedades está pensando? Por supuesto, podríamos decir que la suma de las raíces de $f(y)$ son $\frac{b}{a}$ por Vieta's, etc., pero es difícil dar una respuesta completa sin contexto ni orientación.
$p(x) = a x^{2n-2} - b x^{2n-4} + c$ es un polinomio de grado $2n-2$ . Como es par, sus raíces son simétricas bajo $x \to -x$ . Su derivada es $0$ en $x=0$ y $x = \pm \sqrt{\frac{b(n-2)}{a(n-1)}}$ . Estos últimos también son raíces de $p(x)$ (y, por tanto, raíces dobles) si $$c = (n-1)^{n+1} (n-2)^{n-2} a^{-n+2} b^{n-1}$$ Por lo demás, todas las raíces son simples.
Aunque en general no hay solución en radicales, existen, por ejemplo, soluciones en series de potencias, que pueden dar lugar a funciones hipergeométricas.
