Reconozco que ya ha respondido a esta pregunta, pero creo que aún hay algo más que decir aquí.
Intuitivamente parece cierto: todos los axiomas menos la existencia de inversos estarían bien (y de hecho hay una operada para anillos conmutativos).
Vale, pero ¿qué harías con los inversos? Lo único que puede describir una operada son operaciones y ecuaciones entre ellas en las que no se repite ninguna variable. La inversa no está definida en cada elemento de un campo por lo que obviamente no da una operación. Podrías decir, vale, consideremos la operación que toma la inversa o devuelve $0$ (o lo que sea), e intentas axiomatizarlo (obtienes lo que creo que se llama un "prado"). Pero no se puede enunciar la propiedad clave de esta operación de forma operádica, a saber, que $a^{-1} a = 1$ cuando $a \neq 0$ para dos razones:
- Sólo se cumple en los elementos distintos de cero, y las operadas no pueden describir ecuaciones que sólo se cumplen una parte del tiempo.
- $a$ aparece dos veces, y las operadas no pueden describir ecuaciones que impliquen dos apariciones de la misma variable. (Esta es la misma razón por la que las operadas no pueden describir grupos).
El argumento que has dado está bien, pero deja de aplicarse una vez que restringes a, digamos, característica $0$ campos, que se podría esperar que fuera la categoría de álgebras de una operada en $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales. He aquí un argumento que también se aplica en este caso. En una categoría agradable como los espacios vectoriales, el functor olvidadizo de álgebras sobre una operada hasta la categoría subyacente admite un adjunto izquierdo, por lo que hay álgebras libres. Si $P(n)$ son los objetos de la operada, el functor libre toma la forma
$$X \mapsto \bigsqcup_{n \ge 0} P(n) \otimes_{S_n} X^{\otimes n}.$$
Reclamación: El functor olvidadizo de campos sobre $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Q}$ -no tiene un adjunto izquierdo.
Prueba. Demostraremos que el campo libre sobre $\mathbb{Q}$ en un elemento (equivalentemente, en $\mathbb{Q}$ ) no existe. Se trataría de un objeto que representa el functor olvido, y por tanto sería un campo $K$ en $\mathbb{Q}$ tal que los morfismos $K \to L$ , $L$ otro ámbito, pueden identificarse con elementos de $L$ mediante la evaluación de un "elemento universal" $k \in K$ .
Pero $k$ es necesariamente distinto de cero, ya que debe poder asignarse a elementos distintos de cero de $L$ y por lo tanto tiene un inverso y no puede mapear a $0 \in L$ . $\Box$
El objetivo de escribir este argumento es mostrar exactamente qué tiene que ver lo que va mal con los inversos. No hay equacional obstrucción que impide el elemento universal $k \in K$ de la asignación a $0$ pero hay un obstáculo que no es ecuacional, a saber, que $k$ que sea distinto de cero implica que es invertible.
Del argumento anterior se deduce que los campos sobre $\mathbb{Q}$ no sólo no es la categoría de álgebras para una operada en $\mathbb{Q}$ -incluso no es la categoría de álgebras de una mónada. Esto es una respuesta al comentario de Baby Dragon: mientras que las operadas en conjuntos no pueden describir grupos, las mónadas en conjuntos puede . Así que el problema aquí no es que haya inversas, sino que el comportamiento de la inversa en los campos está fundamentalmente ligado a la condición no ecuacional " $a \neq 0$ ."
