Utilizar gráficos y triángulos estándar para evaluar $\sin(\frac{11}{6}\pi)$

Question

Utilizar gráficos y triángulos estándar para evaluar $\sin(\frac{11}{6}\pi)$ .

Acabo con $\sin(\pi + \frac{5}{6}\pi)$ en el que no puedo usar triángulos estándar.

Answer 1

Pista: Pruebe $\sin\left(2\pi-\dfrac\pi6\right)$ en su lugar.

Para ser más explícitos: $\dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac\pi6$ y $\sin(2\pi-x)=-\sin(x)$ .

Answer 2

En realidad no sé exactamente a qué te refieres con "triángulos estándar", pero creo que esto puede ayudarte (de Wikipedia ):

Si sigues sin entenderlo, sigue mi explicación:

$$\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right) = \sin\left(2\pi-\frac{1}{6}\pi\right) = -\sin\left(\frac{1}{6}\pi\right)$$

¿No te imaginas el valor que podría tener $-\sin(\frac{1}{6}\pi)$ ¿ser? No te preocupes, mira la imagen de arriba: ¿ves que el ángulo $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ ? Ahora dibuja un triángulo justo ahí, con el radio del círculo como un lado, el seno de $\frac{\pi}{6}$ como el otro lado, y ya tienes un triángulo puesto que el lado restante es una parte del diámetro (es muy sencillo: ¿lo ves?) Ahora bien, ¡el triángulo que acabas de dibujar es efectivamente medio triángulo equilátero! Entonces, si el radio de la circunferencia es uno, el lado correspondiente al seno de $\frac{\pi}{6}$ es exactamente $\frac{1}{2}$ :)

Por lo tanto $$-\sin\left(\frac{1}{6}\pi\right) = -\frac{1}{2}$$ que es su resultado final.