¿Factorización de un número de enteros complejos?

Question

Digamos que te dan un número (ej: $377$ ) y lo expresas en una forma que te permita factorizarlo sobre los enteros complejos:

Aviso,

$377 = 16^2 + 11^2$

Así:

$(16 + 11i) $ y $(16 - 11i)$

Son factores de nuestro número. La forma en que la gente puede usar puntos racionales conocidos en una curva para encontrar otros... ¿Existe alguna forma de utilizar puntos conocidos de la integral compleja en la curva $xy = 377$ para encontrar otros puntos integrales?

PS la solución es $(29 \times 13) $

Answer 1

Factorización sobre el enteros gaussianos (números complejos $a+bi$ donde $a$ y $b$ son números enteros) es única, igual que sobre los números enteros regulares. Así, para dos factorizaciones cualesquiera del mismo número, digamos $$(16+11i)(16-11i) = 29\cdot 13$$ debe haber un refinamiento común: una factorización adicional de cada lado que sea la misma.

En este caso, debe observar que $29 = 5^2+2^2 = (2-5i)(2+5i)$ y $13 = 3^2+2^2 = (3+2i)(3-2i)$ . Así que refinando el lado derecho obtenemos

$$(16+11i)(16-11i) = (2-5i)(2+5i)(3+2i)(3-2i).$$

El teorema de la factorización única para enteros gaussianos nos dice que $16+11i$ y $16-11i$ debe dividirse en los mismos factores que en el lado derecho. Y de hecho, $16-11i = (2-5i)(3+2i)$ y $16+11i = (2+5i)(3-2i)$ .

Así que una vez que tenga la $16\pm 11i$ factorización, se continúa factorizando hasta llegar a un producto de primos gaussianos , y entonces puedes ver si cuales de los primos gaussianos en el producto son pares conjugados.

Desgraciadamente, esto es poco útil, porque ¿cómo se puede saber si algo como $16-11i$ ¿es un primo gaussiano? Existe un teorema: $a+bi$ es un primo gaussiano si

• una de $a$ o $b$ es cero y el otro es un primo de la forma $4k+3$ que no se aplica aquí, o
• ni $a$ ni $b$ es cero, y $a^2 + b^2$ es primo.

lo que significa que para saber si $16+11i$ es un primo gaussiano y, por tanto, si se puede factorizar más, se calcula $16^2+11^2 = 377$ y comprueba si 377 es primo, así estarás justo donde empezaste.

Answer 2

Se puede hacer algo más, pero hay que fijarse un poco más. Has observado que $$377 = 16^2 + 11^2.$$

Pero lo que no mencionaste fue que $$377 = 19^2 + 4^2.$$

Cuando tienes el mismo número como suma de dos cuadrados de dos formas como ésta, puedes factorizarlo de la siguiente manera: Calcula ${19 + 11\over 2} = 15$ y ${19 -11\over 2}= 4$ y llamar a esos $ac$ y $bd$ . Y luego calcula ${16+4\over 2} = 10$ y ${16-4\over 2} = 6$ y llamar a esos $ad$ y $bc$ . Entonces tienes:

$$\begin{align} ac & = 15\\ bd & = 4 \\ ad & = 10 \\ bc & = 6 \end{align}$$

A continuación, puede resolver estos para obtener $$\begin{align} a & = 5 \\ b & = 2 \\ c & = 3 \\ d & = 2 \end{align}$$

y aquí es donde ocurre la magia: $$\begin{align} 377 & = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \\ & = 29\cdot 13 \end{align}$$

Esto es consecuencia de la identidad bicuadrada que Wikipedia denomina "identidad Brahmagupta-Fibonacci", aunque Diofanto ya la conocía mucho antes.