Demostrar que si todas las geodésicas de una superficie $S$ son curvas planas, entonces $S$ está contenido en un plano o en una esfera

Question

Sé que si $\alpha$ es geodésica y su curvatura nunca es cero, y es plana, entonces es una recta de curvatura (es decir, la tangente es una dirección principal). Puedo demostrar esto usando Frenet.

Quiero demostrar primero que todos los puntos son umbilicales, porque entonces sé cómo demostrar que la curvatura es constante, por lo que la superficie debe estar en un plano, una pshfera, o la pseudoesfera (pero no puede ser la pseudoesfera por razones).

Dado un punto en la superficie, y una dirección, existe una y sólo una geodésica en esa dirección. Si la curvatura nunca es cero, la dirección es principal. Si puedo hacer esto con todos los puntos y todas las direcciones, todos los puntos son umbilicales.

Pero... puede ocurrir que la curvatura de la geodésica sea cero y no sé qué hacer en ese caso. ¿Puedes ayudarme?

Answer 1

CONSEJO : Supongamos que la geodésica tiene $\kappa(P) = 0$ para algunos $P$ . Entonces $P$ debe ser un punto plano, un punto parabólico o un punto hiperbólico de la superficie. En los dos últimos casos, se obtiene $\kappa_n\ne 0$ para todas las direcciones menos una o dos, y ya está. ¿Y si $P$ ¿es un punto plano?

Ahora es un argumento de teoría de conjuntos. Tienes que suponer que la superficie está conectada, por supuesto.