Medida no ergódica

Question

¿Hay una manera fácil de ver que si $\mu$ y $\nu$ son $T$ -medidas invariantes en el mismo espacio $X$ y $\mu \neq \nu$ entonces $\frac{1}{2}(\mu+\nu)$ NO es ergódico?

Sé que las medidas ergódicas son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas invariantes, pero la demostración de este hecho requiere el Teorema de Radon-Nikodym. Me pregunto si el caso anterior tiene una demostración elemental. Hasta ahora, no la veo.

Answer 1

Tengo una prueba que se basa en el teorema ergódico de Birkhoff, así que no estoy seguro de que se ajuste al término "elemental". De todos modos, no necesitamos saber el hecho de que las medidas ergódicas son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas invariantes.

Supongamos que $\lambda:=\frac{\mu+\nu}2$ es ergódica. Entonces, por el teorema ergódico de von Neumann o de Birkhoff, obtenemos que dado $A\in\mathcal A$ , $$\frac 1n\sum_{j=0}^{n-1}\chi_{T^jA}\to \frac{\mu(A)+\nu(A)}2\quad\lambda-\mbox{ almost everywhere}.$$ Por lo tanto, también se mantiene $\mu$ en casi todas partes, e integrando con respecto a $\mu$ , obtenemos que $$2\mu(A)=\mu(A)+\nu(A),$$ de ahí que las medidas $\mu$ y $\nu$ son iguales.

Tenga en cuenta que también podría funcionar si consideramos $\alpha \mu+(1-\alpha)\nu$ donde $\alpha\in (0,1)$ .