Escribir la función homogénea en términos de sus segundos parciales.

Question

Supongamos que $f(x,y) \in C^2$ y homogénea de grado $n$ .

Estoy tratando de mostrar $\frac{x^2f_{xx}+2xyf_{xy} + y^2f_{yy}}{n(n-1)} = f$ .

Creo que este resultado puede ser una consecuencia de una versión multivariante de la Regla de la Cadena pero estoy buscando ayuda para escribir una derivación formal para explotar esta idea.

Answer 1

Puede utilizar esta forma de mostrar. De hecho, deja que $$ f(x,y)=\sum_{i=0}^nx^iy^{n-i}.$$ Entonces \begin{eqnarray} &&\frac{x^2f_{xx}+2xyf_{xy} + y^2f_{yy}}{n(n-1)}\\ &=&\frac{1}{n(n-1)}\left[x^2\sum_{i=0}^ni(i-1)x^{i-2}y^{n-i}+2xy\sum_{i=0}^ni(n-i)x^{i-1}y^{n-i-1}+y^2\sum_{i=0}^n(n-i)(n-i-1)x^iy^{n-i-2}\right]\\ &=&\frac{1}{n(n-1)}x^2\sum_{i=0}^n\left[i(i-1)+2i(n-i)+(n-i)(n-i-1)\right]x^iy^{n-i}\\ &=&\sum_{i=0}^nx^iy^{n-i}\\ &=&f(x,y). \end{eqnarray}

Answer 2

Pista: Considere la definición de homogeneidad y observe $f(\lambda x, \lambda y)$ en función de $\lambda$ .

---

Solución detallada en caso de que la pista no sea suficiente.

Definición de homogeneidad de grado $n$ : $$ f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n\,f(x,y) $$

Hallar la primera y segunda derivadas parciales con respecto a $\lambda$ : $$ \frac{\partial f(\lambda x, \lambda y)}{\partial x}\,x + \frac{\partial f(\lambda x, \lambda y)}{\partial y}\,y = n\,\lambda^{n-1}\,f(x,y) $$ $$ \frac{\partial^2 f(\lambda x, \lambda y)}{\partial x^2}\,x^2 + 2\frac{\partial^2 f(\lambda x, \lambda y)}{\partial x\,\partial y}\,xy + \frac{\partial^2 f(\lambda x, \lambda y)}{\partial y^2}\,y^2 = n\,(n-1)\,\lambda^{n-2}\,f(x,y) $$

Ahora $\lambda = 1$ : $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\,xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,y^2 = n\,(n-1)\,f(x,y) $$