¿cómo encontrar el valor máximo de esta función y encontrar el límite al infinito?

Question

La pregunta

derivada de f(x) $$ 0 = (1-x)^n -n(1-x)^{n-1}x $$

$$ $$

encontrar la x en términos de n

dividir f '(x) entre $$ (1-x)^{n-1}$$ $$ $$

$$ 0 = (1-x) - xn $$ $$ x = \frac{1} {1 + n} $$

estoy atascado en cómo encontrar a-n y encontrar el límite

$$ \lim_{x \to \infty} \ (n+1)an$$ = $$ \lim_{x \to \infty} \ \frac{1}{x}an$$ = $$ \lim_{x \to \infty} \ lnx \ an$$

como no sé encontrar a-n, no puedo encontrar el lim, y no puedo pasar a 3)

¿pueden ayudarme, por favor?

Answer 1

Para $a_n$ es el valor máximo de $f(x)$ en intervalo $I=[0,1]$ .

Sabiendo que $f'(\frac{1}{n+1})=0$ (el único punto crítico), $f(0)=0, f(1)=0$ , $\ f''(\frac{1}{n+1})<0$ se puede concluir $f(\frac{1}{n+1})$ es el único máximo local en I.

Así, $$lim_{n\rightarrow\infty}(n+1)\ f(\frac{1}{n+1})=\frac{1}{e}$$ se encuentra después de la manipulación algebraica. (Pruébelo usted mismo :D ).

Para la tercera pregunta que implica una integral definida, sugiero usar integración por partes (Usar el método tabular facilita las cosas). Así que $$\int_{0}^1=-\frac{x}{n+1}(1-x)^{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}(1-x)^{n+2}|_{0}^{1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Si tienes algún problema, ¡déjanos un comentario!

Answer 2

De su derivado $$f'(x) = (1-x)^n -n(1-x)^{n-1}x$$ encontramos que la función es $$ f(x) = x(1-x)^n$$ $f'(x)=0$ implica $$ (1-x)^{n-1}(1-x-nx)=0$$ Si $n=1$ la única solución es $x=\frac {1}{2}$ y si $n>1$ también hemos $x=1$ como punto crítico.

Para $x=1$ obtenemos $ f(x) =0$ y para $x=\frac {1}{n+1}$ obtenemos $f(x)=\frac {1}{n+1} (1-\frac {1}{n+1})^n.$

Para valores impar de $ n$ la función alcanza su máximo en $x= \frac {1}{n+1}$ y el valor máximo es $\frac {1}{n+1} (1-\frac {1}{n+1})^n.$

Para valores pares de $n$ la función $f(x) =x(1-x)^n$ no tiene un máximo absoluto.

Answer 3

Punto 1

$$f'(x) = (1-x)^n -n(1-x)^{n-1}x=0\iff(1-x)^{n-1}(1-x-nx)=0\iff$$

$$\iff x=1\not\in(0,1) \quad \lor \quad x = \frac{1} {1 + n}\in(0,1)$$

Punto 2

$$f(x) = x(1-x)^n \implies f(0)=f(1)=0\implies a_n=f_{max}=\frac{1} {1 + n}\left(1-\frac{1} {1 + n}\right)^n\\\implies a_n=\frac{1} {1 + n}\left(\frac{n} {1 + n}\right)^n$$

así

$$\lim_{n\to \infty}(n+1)a_n=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac1e$$

Punto 3

Por sustitución $y=1-x$ y $dy=-dx$

$$\int_{0}^1 x(1-x)^n dx=-\int_{1}^0 (1-y)y^n dy=\int_{0}^1 y^n-y^{n+1} dy=\left[\frac{y^{n+1}}{n+1}-\frac{y^{n+2}}{n+2}\right]_0^1=$$ $$=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Answer 4

Usted hizo la primera correcta como $x$ es realmente $\frac{1}{1+n}$ .

La segunda está bastante cubierta por otras respuestas pero me gustaría añadir que cuando se devuelve el máximo $a_n=\frac{1}{n+1}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$ hasta el límite, se llega al límite:
$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$$
entonces sustituye $\frac{1}{n}$ con t y obtenemos
$$\lim_{t\to0}\frac{1}{\left(1+t\right)^\frac{1}{t}}=\frac{1}{e}$$
Para la tercera recomendaría consultar esta respuesta sobre una pregunta similar aquí en math.se.