polinomio factorial con coeficientes

Question

En base a una pregunta previa resultó que las raíces del polinomio

$$P(z) = z^2-a\,z-\frac{z}{a}+1$$ están determinados por $z_1 = a$ y $z_2 = 1/a$

Ingenuamente luché el polinomio puede ser por lo tanto factorizado por $$P_2(z) = > (z-a)\,(z-1/a)$$

Sin embargo, esto es erróneo. La verdadera factorización viene dada por $$P_1(z) = > (a-z)\,(a\,z-1)$$

Me desconcierta bastante de dónde viene esa desviación.

Editar

Realmente desafortunado:

Por alguna razón luché

$$P_1(z)= z+a^2\,z-a\,z^2-a$$

es lo mismo que

$$P_2(z) = z^2-a\,z-\frac{z}{a}+1$$

Sin embargo, aquí tenía $P_2(z) = \frac{P_1(z)}{-a}$ esperando la misma factorización para ambos Polinomios del programa.

La razón de mi expectativa subyace en el hecho de que $P_1$ et $P_2$ tienen las mismas raíces. ¿Pero su factorización es diferente? También lo que es cuestionable: ¿por qué no se puede arreglar multiplicando $a$ atrás.

Answer 1

En tu edición el problema es que ambos polinomios son diferentes. Cuando dividimos $$P_1(z)= z+a^2\,z-a\,z^2-a$$ por $a$ obtenemos

$$ \frac{z}{a}+az-z^2-1 $$

Este fue el error $1$ .

Error $2$ - También si hay un polinomio $ax+b$ . Si lo dividimos por $c$ obtenemos $\dfrac{ax+b}{c}$ . Recuerda que si sólo divides una expresión por alguna variable/constante la factorización cambiaría. Recuerda como en el caso que tomamos la factorización de $ax+b$ no será lo mismo que $\dfrac{ax+b}{c}$ . Del mismo modo, la factorización de $$P_1(z)= z+a^2\,z-a\,z^2-a$$ no es lo mismo que la factorización de $$ \frac{z}{a}+az-z^2-1 $$

Answer 2

Basándome en el contenido de la cita, ésta es mi respuesta

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Factorización de polinomios de la forma $$\sum_{i = 0}^{n}a_{n-i}x^{n - i}$$ basado en las raíces requiere el conocimiento del valor de $a_{n}$ . Esto se debe a que la definición de polinomios de grado $n$ requiere $n + 1$ condiciones. $n$ de ellos son las raíces y $a_{n}$ es la condición restante. Si ya se sabe que un polinomio es monic o $a_{n} = 1$ factorizando las raíces como $$\prod_{i = 1}^{n}(x - x_{i})$$ es una factorización válida. Sin embargo, si el polinomio no es mónico, factorice $a_{n}$ de todos los términos del polinomio. Esto da un polinomio mónico, escalado por $a_{n}$ . Factorizar el polinomio mónico, luego combinando todo se obtiene la factorización del polinomio original.

Por ejemplo, consideremos la función $f(x) = 2x^{2} + 6x + 4$ . Obsérvese que el coeficiente principal, $a_{n}$ es igual a $2$ . Factorización $2$ de $f$ tenemos $2(x^{2} + 3x + 2)$ . dejar $g(x) = x^{2} + 3x + 2$ . Obteniendo las raíces de $g$ obtenemos que las raíces son $\{-2, -1\}$ . Factorización $g$ tenemos $(x + 2)(x + 1)$ . Recuerde que ésta es la factorización de $g$ et $f(x) = 2g(x)$ por lo que la factorización de $f$ es $2(x + 2)(x + 1)$ .