El papel de la inyectividad y la subjetividad en las clases de equivalencia

Question

Se trata de un problema de Pruebas y fundamentos de Ethan D. Bloch que me cuesta resolver:

Sea $f:A \to B$ un mapa. Definir una relación $\sim$ en $A$ dejando $x \sim y$ si y sólo si $f(x) = f(y)$ para todos $x, y \in A$ . ¿Qué se puede decir de las clases de equivalencia de $\sim$ dependiendo de si $f$ ¿es inyectiva pero no suryectiva, suryectiva pero no inyectiva, ninguna o ambas?

Hasta ahora, me he dado cuenta de que si $f$ es inyectiva, entonces todas las clases de equivalencia de $\sim$ tendrá exactamente un elemento (y esto viene también del hecho de que $f$ es un mapa).

Aunque, no creo que el hecho de que $f$ es suryectiva o no alterará las clases de equivalencia. ¿Puede alguien ayudarme a entender ¿cuál es la "relación" (si existe) entre la subjetividad y las clases de equivalencia?

Gracias de antemano por su atención.

Answer 1

Desde $f$ es suryectiva vemos que para cada $b\in B$ preimagen $f^{-1}(b)$ no es vacío. Las clases de equivalencia son como : $$[a] = \{x\in f^{-1}(b); b=f(a)\}$$

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Como es suryectiva sólo podemos decir que el conjunto quotien $A/_\sim$ et $B$ son conjuntos isomorfos (es decir, existe una biyección entre ellos).