¿Cuántos grupos abelianos hay de orden $p^5q^4$

Question

Me encontré con esto mientras estudiaba:

¿Cuántos grupos abelianos hay de orden $p^5q^4$ ?

Sé que si me preguntaran cuántos grupos abelianos de orden $128$ hubiera, podría decir $128=2^7$ y sólo miraría el número de particiones enteras de $7$ (que es $15$ ). $15$ serían isomorfos a los grupos $\mathbb{Z_{128}}$ , $\mathbb{Z_2} \oplus \mathbb{Z_{64}} , \mathbb{Z_2} \oplus \mathbb{Z_2} \oplus \mathbb {Z_{32}},$ ... y así sucesivamente. En este caso, ¿existe un proceso similar?

Gracias.

Answer 1

Recordemos que un grupo abeliano puede escribirse como la suma directa de sus subgrupos maximales de orden de potencia primo.

Así, todo grupo de orden $p^5q^4$ es una suma directa de un grupo de orden $p^5$ y uno de orden $q^4$ .

El número de grupos que busca es, por tanto, el número de grupos abelianos de orden $p^5$ veces el número de grupos abelianos de orden $q^4$ .

Es decir, como usted ha dicho, el número de particiones enteras de $5$ veces el número de particiones enteras de $4$ .

Esto, por supuesto, suponiendo $p$ et $q$ son primos distintos. Si son el mismo primo sólo estás buscando grupos de orden $p^9$ y esto da particiones enteras de $9$ como respuesta.