He tropezado en la wikipedia alemana sobre la cuestión de si existe un espacio vectorial sobre un campo finito, que tiene un producto punto.
Definición de producto punto
Un producto punto sobre a $\mathbb{K}$ -espacio vectorial V es un mapeo $F : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ que es...
... bilineal : $\forall a, a_1, a_2, b, b_1, b_2 \in V \forall \lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2: $ $\begin{align*} F(\lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2, b) &= \lambda_1 \cdot F(a_1, b) + \lambda_2 \cdot F(a_2, b)\\ F(a, \mu_1 \cdot b_1 + \mu_2 \cdot b_2) &= \mu_1 \cdot F(a, b_1) + \mu_2 \cdot F(a, b_2) \end{align*}$
... simétrico : $F(a, b) = F(b,a)$
... definida positiva : $\forall a \in V: F(a,a) \geq 0 \land ( F(a,a) = 0 \Leftrightarrow a = 0)$
Mi intento
Por favor, corrija mi elección de palabras si sabe lo que quiero decir y si sabe escribirlo en inglés. No estoy acostumbrado a escribir textos matemáticos en inglés.
$\mathbb{K} := \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ Sea $V$ ser un $\mathbb{K}$ -sobre el conjunto $\{0,1\}$ .
$\mathbb{K}$ es un campo finito.
Defina $\langle 0, 0 \rangle := 0$ , $\langle 1, 0 \rangle := \langle 0,1 \rangle := 1$ et $\langle 1, 1 \rangle = 1$ .
simetría
$\langle, \rangle$ es simétrico por definición
forma bilineal
$f(1 + 1, 1) = f(0,1) = 1 \neq 0 = 1+1 = f(1,1) + f(1,1)$
¿Es posible definir un producto punto para un espacio vectorial / campo finito mayor?
(Si la respuesta es afirmativa, indíqueme un ejemplo)
editar: argh - $f(a,a) = 0 \Leftrightarrow a = 0$ pero $f(a,b)$ puede ser 0. Siempre lo olvido :-/
