¿Evaluando límites; sustitución directa de una vez o uno por uno?

Question

Cuando se evalúan límites por sustitución directa, ¿es necesario dar el valor límite a todas las variables al mismo tiempo, o está bien simplificar expresiones más pequeñas en la función general sustituyendo la variable con el valor uno por uno?

Para un ejemplo (impráctico), $\frac{(e^{(x+2)ln4})^\frac{\lfloor x+1\rfloor}{4}-16}{4^x - 16}$. Esta es la expresión a medida que la función se acerca a 2 desde la izquierda. Al simplificarlo, obtienes $\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$. Una solución de internet desglosó el $\lfloor x+1\rfloor$ en 2, pero mantuvo todo lo demás igual.

¿Cómo resulta eso?

Answer 1

Esto se debe a una propiedad de la función suelo. Tenga en cuenta que para $x \in [1,2)$, $\lfloor x+1 \rfloor = 2$. Por lo tanto

$$\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

Dado que solo nos importa el valor de la función cerca de $2^-$, escribir

$$\lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{\lfloor x+1 \rfloor (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16} = \lim_{x \to 2^-}\frac{2^{\frac{2 (x+2)}{2}}}{2^{2x}-16}$$

es válido. No se puede sustituir el valor límite de $x$ uno por uno, por ejemplo

$$4=\lim_{x \to 2} \frac {x^2-4}{x-2} \ne \lim_{x \to 2}\frac {4-4}{x-2} =0$$

pero lo que hicimos con tu ejemplo no es una sustitución. Otro ejemplo sería:

$$\lim_{x \to 0^-}\frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac {-x}{x} = -1$$

ya que cerca de $0^-$, $|x| = -x$.