Hay problemas abiertos en Álgebra Lineal?

Question

Estoy leyendo algunas cosas sobre algebraica de K-teoría, que puede ser considerado como una "generalización" de álgebra lineal, porque queremos que el uso de las mismas herramientas como en álgebra lineal en el módulo de teoría.

Hay un montón de problemas abiertos y conjeturas en el K-teoría, que están "a veces", inspirado en álgebra lineal.

Tan sólo quiero saber:

¿Cuáles son los problemas abiertos en "pura" álgebra lineal? (Puro no significa numérico!)

Gracias

Answer 1

Uno de los mayores problemas es uno de los más sencillos de entender: ¿qué es la más baja obligada para el recuento de operación de multiplicación matriz-matriz? O, en otras palabras,

Dadas dos $n\times n$ matrices, ¿cuál es la menor cota de la exponente en la complejidad computacional de su producto?

La conjetura podría ser más audaz:

¿Existe un algoritmo que puede calcular el producto de dos $n \times n$ matrices con la complejidad de la $O(n^2)$?

En la actualidad, el más bajo conocido obligado para el exponente es de alrededor de $2.373 de dólares, obtenidos a partir de una optimización en el Calderero-Winograd algoritmo, el cual no se utilizan realmente porque sólo es eficiente para las matrices que son tan grandes que son (actualmente) no se ha encontrado en la práctica.

Algunas personas (cita requerida) sospecho que para suficientemente grande $n$, existe un algoritmo que se puede calcular el producto en $O(n^2)$ operaciones.

Answer 2

Este problema surge de la teoría de control, pero en realidad es un problema de álgebra lineal. Salida estática Estabilización de la Retroalimentación Problema: Dadas las matrices $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ y $C \in \mathbb{R}^{p \times n}$ es existe una matriz $K \in \mathbb{R}^{m \times p}$ tal que la parte real de todos los valores propios de la matriz $A+BKC$ son negativos.

Answer 3

La pregunta por la existencia de un espacio vectorial, análogo al plano de Fano está abierto para cualquier potencia principal valor de $q$:

Hay una serie de $3$-dimensiones de los subespacios de $\operatorname{GF}(q)^7$ que cada $2$-dimensional subespacio está cubierto exactamente una vez?